LeXMath

Les polynômes à plusieurs indéterminées jouent un rôle fondamental en algèbre et en analyse. Ce cours aborde leur construction, leurs propriétés essentielles et les formules classiques d'Euler et de Taylor. Vous découvrirez comment ces concepts s'appliquent dans différents contextes mathématiques. Définition des polynômes à plusieurs indéterminées Un polynôme à plusieurs indéterminées est une expression algébrique composée de plusieurs variables appelées indéterminées et de coefficients appartenant à un anneau ou un corps. Contrairement aux polynômes à une seule variable, ici nous travaillons avec plusieurs variables. Forme générale d'un polynôme à plusieurs indéterminées La forme générale d’un polynôme à \( n \) indéterminées \( x_1, x_2, \dots, x_n \) avec des coefficients dans un anneau \( A \) s’écrit comme suit : \[ P(x_1, x_2, \dots, x_n) = \sum_{(i_1, i_2, \dots, i_n)} a_{i_1, i_2, \dots, i_n} x_1^{i_1} x_2^{i_2} \dots x_n^{i_n} \] \( a_{i_1, i_...

1. Introduction aux systèmes linéaires Un système d'équations linéaires est un ensemble de plusieurs équations linéaires à plusieurs variables. Sa résolution vise à trouver les valeurs des variables qui satisfont simultanément toutes les équations. 1.1 Définitions fondamentales Équation linéaire : Une équation de la forme générale : \[ a_1x_1 + a_2x_2 + \dots + a_nx_n = b \] où \( a_1, a_2, \dots, a_n \) sont des coefficients constants, \( x_1, x_2, \dots, x_n \) sont les variables et \( b \) est un terme constant. Système linéaire : Un ensemble d'équations linéaires ayant des variables communes. Exemple : \[ \begin{cases} 2x + 3y - z = 5 \\ -x + 4y + 2z = 6 \\ 3x - y + 4z = 0 \end{cases} \] Solutions d'un système : Une solution est un ensemble de valeurs pour les variables \( x_1, x_2, \dots, x_n \) qui satisfont t...

Les fractions rationnelles jouent un rôle fondamental en algèbre et en analyse mathématique. Elles sont des expressions rationnelles où le numérateur et le dénominateur sont des polynômes . Dans cet article, nous allons explorer le corps des fractions rationnelles et la décomposition des fractions rationnelles en éléments simples, un outil essentiel pour simplifier les calculs algébriques et résoudre des intégrales complexes. Corps des fractions rationnelles En algèbre, une fraction rationnelle est une expression du type : \[ f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}, \quad \text{où } P(x) \text{ et } Q(x) \text{ sont des polynômes définis sur un corps } K, \text{ avec } Q(x) \neq 0. \] Le corps des fractions rationnelles , noté \( K(x) \), est l'ensemble des fractions formées par les polynômes \( P(x) \) et \( Q(x) \) où \( K \) est un corps, par exemple : \( \mathbb{Q} \) : le corps des nombres...

Cette section aborde les notions de base sur les polynômes à une indéterminée Définitions et structure Un polynôme à coefficients dans un ensemble \( A \) (par exemple \( \mathbb{Z}, \mathbb{R}, \mathbb{C} \)) est une expression de la forme : \[ P(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \dots + a_n x^n \] où : \( a_0, a_1, \dots, a_n \in A \) sont appelés les coefficients du polynôme, \( x \) est une indéterminée (variable formelle), \( n \in \mathbb{N} \) est un entier naturel représentant le plus grand exposant de \( x \). Le polynôme est dit à une indéterminée car il dépend uniquement de la variable \( x \). Les coefficients \( a_i \) déterminent la forme du polynôme. Degré d'un polynôme Le degré d’un polynôme \( P(x) \) non nul est l’exposant le plus élevé de la variable \( x \) parmi les monômes ayant un coefficient non nul. Formellemen...

Les anneaux et les corps sont des structures algébriques fondamentales qui apparaissent dans de nombreux domaines des mathématiques. Leur étude permet de comprendre et de résoudre des problèmes complexes en utilisant des outils algébriques puissants. En maîtrisant ces concepts, vous serez mieux équipé pour explorer les nombreuses applications des mathématiques dans le monde réel. 1. Anneaux 1.1 Définition et éléments remarquables Un anneau \( A \) est un ensemble muni de deux opérations : Une addition notée \( + \) : \( A \times A \to A \). Une multiplication notée \( \cdot \) : \( A \times A \to A \). Ces opérations satisfont les propriétés suivantes : L'addition : Associativité : \( a + (b + c) = (a + b) + c \) pour tout \( a, b, c \in A \). Commutativité : \( a + b = b + a \) pour tout \( a, b \in A \). Élément neutre : il existe un éléme...

Un groupe est un ensemble d'éléments avec une opération qui respecte des règles précises : chaque élément a un inverse, il existe un élément neutre, et l'opération est fermée. Les groupes sont utilisés dans de nombreuses branches des mathématiques et des sciences. Ce cours vous permettra de découvrir les bases des groupes, comme les sous-groupes , les opérations entre groupes, et des résultats clés comme le théorème de Lagrange . Vous apprendrez aussi comment les groupes peuvent être divisés en groupes quotient et comment ils sont liés entre eux par des isomorphismes . Groupes et leurs définitions Un groupe est un ensemble \( G \) muni d'une opération binaire \(*\) qui satisfait les quatre propriétés fondamentales suivantes : Fermeture : Pour tout \( a, b \in G \), \( a * b \in G \). Associativité : Pour tout \( a, b, c \in G \), \( (a * b) * c = a * (b * c) \). ...

Ensembles des Entiers En arithmétique, l’étude des entiers repose sur deux ensembles fondamentaux : Les entiers naturels , notés \( \mathbb{N} \), qui incluent les nombres entiers positifs et zéro. L'ensemble des entiers naturels est défini par : \[ \mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, 4, \dots\}. \] Les entiers relatifs , notés \( \mathbb{Z} \), qui incluent tous les entiers positifs, négatifs et zéro. L'ensemble des entiers relatifs est défini par : \[ \mathbb{Z} = \{\dots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \dots\}. \] Les entiers naturels sont utilisés pour le comptage et les mesures, tandis que les entiers relatifs incluent des valeurs positives et négatives, ce qui permet de modéliser des situations avec des pertes, des dettes ou des directions opposées. Division Euclidienne La division euclidienne est une règle fondamentale qui permet de diviser un entier \( a \) par un entier non nul \( b...

Relations Binaires Une relation binaire est une correspondance entre deux éléments d’un ou deux ensembles. Mathématiquement, une relation binaire sur un ensemble \( A \) est définie comme un sous-ensemble du produit cartésien \( A \times A \). Définition Soient \( A \) et \( B \) deux ensembles, une relation binaire \( R \) est un sous-ensemble de \( A \times B \), où : \( R \subseteq A \times B \). Cela signifie que pour tout couple \( (a, b) \), \( a \in A \) et \( b \in B \), \( (a, b) \in R \) si et seulement si \( a \) est en relation avec \( b \) selon \( R \). Exemples Sur l’ensemble des nombres réels \( \mathbb{R} \), la relation "<" est définie comme : \( a < b \iff b - a > 0 \). Sur un ensemble \( A = \{1, 2, 3\} \), une relation binaire \( R \) pourrait être définie par : \( R = \{(1, 2), (2, 3)\} \). Types de Relations Binaires Réflexive...

Notions d’Ensemble Un ensemble est une collection bien définie d’objets appelés éléments . Chaque élément appartient ou non à un ensemble, et un ensemble est souvent noté par des accolades { } . Voici quelques exemples : \( A = \{1, 2, 3, 4\} \) : ensemble des nombres entiers de 1 à 4. \( B = \{x \in \mathbb{R} \mid x^2 < 4\} \) : ensemble des réels tels que \( x^2 < 4 \). \( C = \emptyset \) : l’ensemble vide, qui ne contient aucun élément. Inclusion et égalité des ensembles Deux ensembles \( A \) et \( B \) sont égaux s’ils contiennent exactement les mêmes éléments, c’est-à-dire : \[ A = B \iff \forall x, (x \in A \iff x \in B) \] Un ensemble \( A \) est inclus dans un ensemble \( B \), noté \( A \subseteq B \), si tous les éléments de \( A \) appartiennent à \( B \) : \[ A \subseteq B \iff \forall x, (x \in A \implies x \in B) \] Ensembles usuels En mathématiques, certains ensembles sont utilisés fréquemment : \( \mathbb{N} \) : ensemble des n...