Fractions Rationnelles : Définition et Décomposition

Les fractions rationnelles jouent un rôle fondamental en algèbre et en analyse mathématique. Elles sont des expressions rationnelles où le numérateur et le dénominateur sont des polynômes. Dans cet article, nous allons explorer le corps des fractions rationnelles et la décomposition des fractions rationnelles en éléments simples, un outil essentiel pour simplifier les calculs algébriques et résoudre des intégrales complexes.

Corps des fractions rationnelles

En algèbre, une fraction rationnelle est une expression du type :

\[ f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}, \quad \text{où } P(x) \text{ et } Q(x) \text{ sont des polynômes définis sur un corps } K, \text{ avec } Q(x) \neq 0. \]

Le corps des fractions rationnelles, noté \( K(x) \), est l'ensemble des fractions formées par les polynômes \( P(x) \) et \( Q(x) \) où \( K \) est un corps, par exemple :

\( \mathbb{Q} \) : le corps des nombres rationnels,
\( \mathbb{R} \) : le corps des nombres réels,
\( \mathbb{C} \) : le corps des nombres complexes.

Propriétés du corps des fractions rationnelles

Le corps des fractions rationnelles possède plusieurs propriétés fondamentales :

Opérations : Addition, soustraction, multiplication et division (à condition que \( Q(x) \neq 0 \)) sont bien définies.
Structure algébrique : Il est un corps car toute fraction rationnelle non nulle possède un inverse multiplicatif.
Exemple : Dans \( \mathbb{Q}(x) \), les expressions suivantes sont des fractions rationnelles :
- \( \frac{x^2 + 1}{x - 1} \),
- \( \frac{3x - 2}{x^2 + x + 1} \).

Exemple de calcul dans un corps des fractions rationnelles

Soit \( f(x) = \frac{x^2 + 1}{x - 1} \) et \( g(x) = \frac{x}{x + 1} \). Calculons \( f(x) + g(x) \) :

\[ f(x) + g(x) = \frac{x^2 + 1}{x - 1} + \frac{x}{x + 1}. \] Pour additionner, il faut un dénominateur commun : \[ f(x) + g(x) = \frac{(x^2 + 1)(x + 1) + x(x - 1)}{(x - 1)(x + 1)}. \] On développe et simplifie le numérateur pour obtenir : \[ f(x) + g(x) = \frac{x^3 + x^2 + 1}{x^2 - 1}. \]

Décomposition en éléments simples

La décomposition en éléments simples est une technique utilisée pour décomposer une fraction rationnelle en une somme d'expressions plus simples. Elle est particulièrement utile pour effectuer des intégrations dans le cadre de calculs analytiques.

L'idée principale de cette méthode est de transformer une fraction rationnelle de degré supérieur en une somme de fractions dont le dénominateur est un facteur du dénominateur de la fraction initiale.

Méthode de décomposition

Soit une fraction rationnelle de la forme :

\[ f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}, \]

où \( P(x) \) et \( Q(x) \) sont des polynômes, et \( \deg(P(x)) < \deg(Q(x)) \). La décomposition en éléments simples consiste à exprimer \( f(x) \) comme une somme de fractions dont les dénominateurs sont des facteurs de \( Q(x) \), soit :

\[ \frac{P(x)}{Q(x)} = \sum \frac{A_i}{(x - r_i)^{n_i}} + \sum \frac{B_jx + C_j}{(x^2 + bx + c)^{m_j}}. \]

Cette décomposition est réalisée en suivant certaines étapes algébriques détaillées ci-dessous.

Étapes de la décomposition en éléments simples

1. Factorisation du dénominateur : La première étape consiste à factoriser le dénominateur \( Q(x) \). Cela peut inclure des facteurs linéaires \( (x - r_i) \) ou quadratiques \( (x^2 + bx + c) \) qui ne se factorisent pas plus loin.
2. Formulation de la somme : Une fois que \( Q(x) \) est factorisé, chaque facteur donne une fraction à décomposer. Les termes associés aux racines simples ont la forme \( \frac{A_i}{(x - r_i)} \), tandis que les termes associés aux racines multiples ou aux facteurs quadratiques auront des formes plus complexes comme \( \frac{B_jx + C_j}{(x^2 + bx + c)^{m_j}} \).
3. Résolution des coefficients : Les coefficients \( A_i \), \( B_j \), et \( C_j \) sont déterminés en multipliant les deux côtés de l'égalité par le dénominateur commun \( Q(x) \), et en résolvant les systèmes d'équations résultants.

Exemple de décomposition

Prenons un exemple concret : Décomposons la fraction rationnelle suivante :

\[ f(x) = \frac{3x + 5}{(x - 1)(x^2 + 2x + 3)}. \]

La factorisation du dénominateur est déjà effectuée. Nous supposons que la décomposition prend la forme :

\[ \frac{3x + 5}{(x - 1)(x^2 + 2x + 3)} = \frac{A}{x - 1} + \frac{Bx + C}{x^2 + 2x + 3}. \]

Nous multiplions les deux côtés par \( (x - 1)(x^2 + 2x + 3) \) pour obtenir :

\[ 3x + 5 = A(x^2 + 2x + 3) + (Bx + C)(x - 1). \]

En développant et en regroupant les termes, nous obtenons une équation du type :

\[ 3x + 5 = A(x^2 + 2x + 3) + Bx(x - 1) + C(x - 1). \]

En résolvant cette équation, nous déterminons les valeurs de \( A \), \( B \), et \( C \). C'est une procédure algébrique standard qui aboutit à la décomposition en éléments simples.