1. Anneaux
1.1 Définition et éléments remarquables
Un anneau \( A \) est un ensemble muni de deux opérations :
- Une addition notée \( + \) : \( A \times A \to A \).
- Une multiplication notée \( \cdot \) : \( A \times A \to A \).
Ces opérations satisfont les propriétés suivantes :
-
L'addition :
- Associativité : \( a + (b + c) = (a + b) + c \) pour tout \( a, b, c \in A \).
- Commutativité : \( a + b = b + a \) pour tout \( a, b \in A \).
- Élément neutre : il existe un élément \( 0 \) tel que \( a + 0 = a \) pour tout \( a \in A \).
- Élément opposé : pour tout \( a \in A \), il existe un élément \( -a \) tel que \( a + (-a) = 0 \).
-
La multiplication :
- Associativité : \( a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c \) pour tout \( a, b, c \in A \).
-
Distributivité :
- \( a \cdot (b + c) = (a \cdot b) + (a \cdot c) \).
- \( (a + b) \cdot c = (a \cdot c) + (b \cdot c) \).
Si la multiplication est commutative (\( a \cdot b = b \cdot a \)), on parle d'un anneau commutatif.
Exemple : L'ensemble des entiers relatifs \( \mathbb{Z} \), muni des opérations habituelles d'addition et de multiplication, forme un anneau commutatif.
1.2 Anneaux intègres et sous-anneaux
-
Anneaux intègres :
Un anneau intègre est un anneau commutatif avec unité \( 1 \neq 0 \) qui ne possède pas de diviseurs de zéro.
Si \( a \cdot b = 0 \), alors \( a = 0 \) ou \( b = 0 \).
Exemple : \( \mathbb{Z} \) est un anneau intègre.
-
Sous-anneaux :
Un sous-anneau d'un anneau \( A \) est une partie \( S \subseteq A \) telle que :
- \( S \) est stable par addition : si \( a, b \in S \), alors \( a + b \in S \).
- \( S \) est stable par multiplication : si \( a, b \in S \), alors \( a \cdot b \in S \).
- \( S \) contient \( 0 \), l'élément neutre de \( A \).
- \( S \) contient les opposés : si \( a \in S \), alors \( -a \in S \).
Exemple : L'ensemble des entiers pairs \( 2\mathbb{Z} \) est un sous-anneau de \( \mathbb{Z} \).
1.3 Anneaux \( \mathbb{Z} / n\mathbb{Z} \)
L'anneau \( \mathbb{Z} / n\mathbb{Z} \), appelé anneau des entiers modulo \( n \), est défini par :
- Ses éléments sont les classes d'équivalence modulo \( n \) : \[ \mathbb{Z} / n\mathbb{Z} = \{ 0, 1, 2, \dots, n-1 \}. \]
- Les opérations d'addition et de multiplication sont effectuées modulo \( n \).
Exemple : Dans \( \mathbb{Z} / 6\mathbb{Z} \) :
- \( 4 + 5 \equiv 3 \ (\text{mod } 6) \).
- \( 2 \cdot 3 \equiv 0 \ (\text{mod } 6) \).
2. Idéaux et Homomorphismes
2.1 Idéaux dans un anneau
Un idéal \( I \) dans un anneau \( A \) est une sous-partie de \( A \) qui vérifie :
- \( I \) est un sous-groupe additif de \( A \).
- Pour tout \( r \in A \) et \( x \in I \), on a \( r \cdot x \in I \) et \( x \cdot r \in I \) (stabilité par multiplication par des éléments de \( A \)).
Un idéal \( I \subset A \) est dit :
- Bilatère si \( r \cdot x \in I \) et \( x \cdot r \in I \) pour tout \( r \in A \) et \( x \in I \).
- Principal s'il existe un \( a \in A \) tel que \( I = \{ r \cdot a \mid r \in A \} \). On note alors \( I = (a) \).
Exemple : Dans l'anneau \( \mathbb{Z} \) des entiers, l'ensemble des multiples d'un entier \( n \) forme un idéal principal noté \( n\mathbb{Z} \).
De plus, dans \( \mathbb{Z} \), tout idéal est principal.
2.2 Homomorphismes d'anneaux
Soient \( A \) et \( B \) deux anneaux. Une application \( f : A \to B \) est un homomorphisme d'anneaux si :
- \( f(a + b) = f(a) + f(b) \) pour tout \( a, b \in A \) (compatibilité avec l'addition).
- \( f(a \cdot b) = f(a) \cdot f(b) \) pour tout \( a, b \in A \) (compatibilité avec la multiplication).
- \( f(1_A) = 1_B \) où \( 1_A \) et \( 1_B \) sont les éléments neutres multiplicatifs de \( A \) et \( B \).
Un homomorphisme d'anneaux permet de préserver la structure algébrique des anneaux.
Exemple : L'application \( f : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z} / n\mathbb{Z} \) définie par :
\[ f(a) = a \mod n \]
est un homomorphisme d'anneaux.
2.3 Théorèmes d'isomorphismes pour les anneaux
Soit \( A \) un anneau, \( I \) un idéal de \( A \), et \( f : A \to B \) un homomorphisme d'anneaux. Les principaux théorèmes d'isomorphismes sont :
- Premier théorème : L'anneau quotient \( A / \ker(f) \) est isomorphe à l'image de \( f \), c'est-à-dire : \[ A / \ker(f) \cong \text{Im}(f). \]
- Deuxième théorème : Si \( I \subseteq A \) est un idéal et \( B \subseteq A \) est un sous-anneau, alors : \[ (B + I) / I \cong B / (B \cap I). \]
- Troisième théorème : Si \( I \subseteq J \subseteq A \) sont des idéaux, alors : \[ A / I \cong (A / J) / (I / J). \]
Ces théorèmes généralisent les résultats sur les groupes pour les anneaux.
3. Anneaux Quotients et Arithmétique
3.1 Définition des anneaux quotients
Soit \( A \) un anneau et \( I \subseteq A \) un idéal bilatère. L'anneau quotient \( A / I \) est défini comme l'ensemble des classes d'équivalence modulo \( I \) :
\[ A / I = \{ a + I \mid a \in A \}. \]
Les opérations sur \( A / I \) sont données par :
- Addition : \((a + I) + (b + I) = (a + b) + I\),
- Multiplication : \((a + I) \cdot (b + I) = (a \cdot b) + I\).
Ces opérations sont bien définies car \( I \) est un idéal.
Exemple : Dans l'anneau \( \mathbb{Z} \) des entiers, si \( I = n\mathbb{Z} \) est l'idéal des multiples de \( n \), alors :
\[ \mathbb{Z} / n\mathbb{Z} = \{ 0, 1, 2, \dots, n-1 \}. \]
3.2 Arithmétique des anneaux principaux
Un anneau principal est un anneau commutatif dans lequel tout idéal est principal, c'est-à-dire de la forme \( (a) = \{ r \cdot a \mid r \in A \} \).
Exemple : L'anneau des entiers \( \mathbb{Z} \) est un anneau principal. Ses idéaux sont de la forme \( n\mathbb{Z} \), où \( n \in \mathbb{Z} \).
Propriétés des anneaux principaux
- Tout élément admet une décomposition en facteurs premiers (propriété d'unicité).
- Dans \( \mathbb{Z} \), on peut appliquer l'algorithme d'Euclide pour déterminer le plus grand commun diviseur (PGCD).
Exemple d'arithmétique dans \( \mathbb{Z} \)
Soit \( a, b \in \mathbb{Z} \). L'algorithme d'Euclide permet de déterminer \( d = \text{PGCD}(a, b) \) en utilisant la division euclidienne :
\[ a = bq + r \quad \text{où } q \text{ est le quotient et } r \text{ le reste}. \]
On répète cette division jusqu'à obtenir un reste nul :
\[ \text{Si } r_n = 0, \text{ alors } d = r_{n-1} \text{ est le PGCD de } a \text{ et } b. \]
Exemple numérique
Calculons le PGCD de \( 48 \) et \( 18 \) :
- \( 48 = 18 \cdot 2 + 12 \),
- \( 18 = 12 \cdot 1 + 6 \),
- \( 12 = 6 \cdot 2 + 0 \).
Le PGCD est donc \( 6 \).
4. Corps et Sous-Corps
4.1 Définition et propriétés
Un corps \( K \) est un anneau commutatif non nul dans lequel tout élément non nul possède un inverse multiplicatif.
Autrement dit, pour tout \( x \in K \setminus \{0\} \), il existe un \( x^{-1} \in K \) tel que :
\[ x \cdot x^{-1} = 1. \]
Les principales propriétés d’un corps sont :
- L’addition et la multiplication sont associatives et commutatives.
- Il existe un élément neutre additif \( 0 \) et un élément neutre multiplicatif \( 1 \).
- Tout élément non nul possède un inverse multiplicatif.
Un sous-corps \( L \subseteq K \) est une partie de \( K \) qui est elle-même un corps pour les opérations induites de \( K \).
4.2 Exemples de corps
- Les rationnels : L'ensemble des nombres rationnels \( \mathbb{Q} \) est un corps. Les éléments sont de la forme : \[ \mathbb{Q} = \left\{ \frac{a}{b} \mid a, b \in \mathbb{Z}, b \neq 0 \right\}. \]
- Les réels : L'ensemble des nombres réels \( \mathbb{R} \) est un corps. Il contient les rationnels et inclut les limites des suites convergentes de nombres rationnels.
- Les complexes : L'ensemble des nombres complexes \( \mathbb{C} \) est un corps. Un nombre complexe est de la forme : \[ z = a + bi \quad \text{où } a, b \in \mathbb{R} \text{ et } i^2 = -1. \]
4.3 Structure des sous-corps
Un sous-corps de \( \mathbb{R} \) ou \( \mathbb{C} \) doit respecter les propriétés d’un corps :
- Il contient \( 0 \) et \( 1 \).
- Il est fermé pour l’addition, la soustraction, la multiplication et l’inversion des éléments non nuls.
Exemple : L’ensemble des rationnels \( \mathbb{Q} \) est un sous-corps de \( \mathbb{R} \) et de \( \mathbb{C} \).
4.4 Fermeture algébrique
Un corps \( K \) est dit algébriquement clos si tout polynôme non constant à coefficients dans \( K \) possède une racine dans \( K \).
Exemple : Le corps des complexes \( \mathbb{C} \) est algébriquement clos, ce qui signifie que :
\[ \forall P(x) \in \mathbb{C}[x], \text{ avec } \deg(P) \geq 1, \ \exists z \in \mathbb{C} \text{ tel que } P(z) = 0. \]
Ceci est un résultat fondamental appelé le théorème fondamental de l'algèbre.
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