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Ensembles des Entiers
En arithmétique, l’étude des entiers repose sur deux ensembles fondamentaux :
- Les entiers naturels, notés \( \mathbb{N} \), qui incluent les nombres entiers positifs et zéro. L'ensemble des entiers naturels est défini par :
- Les entiers relatifs, notés \( \mathbb{Z} \), qui incluent tous les entiers positifs, négatifs et zéro. L'ensemble des entiers relatifs est défini par :
\[ \mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, 4, \dots\}. \]
\[ \mathbb{Z} = \{\dots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \dots\}. \]
Les entiers naturels sont utilisés pour le comptage et les mesures, tandis que les entiers relatifs incluent des valeurs positives et négatives, ce qui permet de modéliser des situations avec des pertes, des dettes ou des directions opposées.
Division Euclidienne
La division euclidienne est une règle fondamentale qui permet de diviser un entier \( a \) par un entier non nul \( b \), en obtenant un quotient \( q \) et un reste \( r \) tels que :
\[ a = bq + r \quad \text{avec} \quad 0 \leq r < |b|. \]
Autrement dit, lorsque l'on divise \( a \) par \( b \), on peut toujours exprimer \( a \) comme une somme du produit de \( b \) et \( q \), plus un reste \( r \) qui est un entier plus petit que \( |b| \).
Propriétés importantes :
- Unicité : Il existe une unique paire \( (q, r) \) pour chaque couple d'entiers \( (a, b) \) où \( b \neq 0 \).
- Positivité du reste : Le reste \( r \) doit être strictement inférieur à \( |b| \), c'est-à-dire \( 0 \leq r < |b| \).
Divisibilité dans \( \mathbb{Z} \)
La divisibilité est une notion centrale en arithmétique. Un entier \( b \) divise un entier \( a \) si et seulement si il existe un entier \( k \) tel que :
\[ a = bk. \]
Nous notons cette relation sous la forme \( b \mid a \), ce qui se lit "b divise a". Par exemple, \( 3 \mid 12 \) car \( 12 = 3 \times 4 \), mais \( 5 \nmid 14 \) car il n'existe aucun entier \( k \) tel que \( 14 = 5k \).
Critères de divisibilité :
Théorème de la divisibilité :
Si \( b \mid a \) et \( b \mid c \), alors \( b \mid (a + c) \) et \( b \mid (a - c) \). Cela signifie que la divisibilité est préservée par l'addition et la soustraction.
Algorithme de la division :
Pour calculer le quotient et le reste d'une division euclidienne, on peut utiliser l'algorithme suivant :
- Divisez \( a \) par \( b \), obtenez un quotient \( q \) et un reste \( r \). Vous pouvez utiliser la division entière pour obtenir \( q \) et \( r \) directement, ou appliquer l'algorithme de la division euclidienne si nécessaire.
- Vérifiez que \( 0 \leq r < |b| \).
PGCD et PPCM
Le PGCD (Plus Grand Commun Diviseur) et le PPCM (Plus Petit Commun Multiple) sont des concepts clés en arithmétique, utilisés pour étudier les relations entre les diviseurs et les multiples de deux entiers.
PGCD (Plus Grand Commun Diviseur)
Le PGCD de deux entiers \( a \) et \( b \) est le plus grand entier qui divise à la fois \( a \) et \( b \). On le note \( \text{pgcd}(a, b) \). Par exemple, pour \( a = 12 \) et \( b = 18 \), le PGCD est 6, car 6 est le plus grand diviseur commun aux deux nombres.
Le PGCD peut être calculé à l'aide de l'algorithme d'Euclide (voir section suivante).
PPCM (Plus Petit Commun Multiple)
Le PPCM de deux entiers \( a \) et \( b \) est le plus petit entier qui est un multiple à la fois de \( a \) et de \( b \). On le note \( \text{ppcm}(a, b) \). Par exemple, pour \( a = 12 \) et \( b = 18 \), le PPCM est 36, car 36 est le plus petit multiple commun aux deux nombres.
Le lien entre le PGCD et le PPCM est donné par la formule :
\[ \text{pgcd}(a, b) \times \text{ppcm}(a, b) = |a \times b|. \]Exemple :
Soit \( a = 12 \) et \( b = 18 \), on a :
\[ \text{pgcd}(12, 18) = 6 \quad \text{et} \quad \text{ppcm}(12, 18) = \frac{|12 \times 18|}{6} = 36. \]Algorithme d’Euclide
L'algorithme d'Euclide est une méthode efficace pour calculer le PGCD de deux entiers. L'idée principale est de répéter l'opération de division euclidienne jusqu'à ce que le reste soit égal à 0. Le dernier diviseur non nul est alors le PGCD.
Étapes de l'algorithme :
- Divisez \( a \) par \( b \) et obtenez le quotient \( q \) et le reste \( r \) : \( a = bq + r \).
- Remplacez \( a \) par \( b \) et \( b \) par \( r \), puis répétez l'opération jusqu'à ce que \( r = 0 \).
- Le PGCD est le dernier diviseur non nul, c'est-à-dire \( b \) lorsque \( r = 0 \).
Théorème de Bézout
Le théorème de Bézout donne une relation importante entre le PGCD de deux entiers et leurs combinaisons linéaires. Il énonce que pour deux entiers \( a \) et \( b \), il existe des entiers \( x \) et \( y \) tels que :
\[ ax + by = \text{pgcd}(a, b). \] Autrement dit, le PGCD de \( a \) et \( b \) peut toujours être exprimé comme une combinaison linéaire de \( a \) et \( b \), c'est-à-dire une somme de multiples de \( a \) et \( b \).Nombres Premiers et Décomposition
Un nombre premier est un entier \( p \) plus grand que 1 qui n'a que deux diviseurs : 1 et lui-même. Par exemple, 2, 3, 5, 7 et 11 sont des nombres premiers.
Définition d'un nombre premier :
\[ p \in \mathbb{Z} \text{, } p > 1 \text{ est premier si et seulement si } \forall d \in \mathbb{Z}, \; (d | p \Rightarrow d = 1 \text{ ou } d = p). \]Décomposition en facteurs premiers :
Tout entier \( n > 1 \) peut être écrit de manière unique (à l'ordre près) comme un produit de facteurs premiers. Cette décomposition est appelée factorisation en nombres premiers. Par exemple, pour \( n = 60 \), on a : \[ 60 = 2^2 \times 3 \times 5. \]Cette propriété est essentielle et est la base du Théorème Fondamental de l'Arithmétique, qui stipule que chaque entier supérieur à 1 a une décomposition unique en facteurs premiers.
Congruences
Les congruences sont un concept fondamental en arithmétique modulaire. Elles permettent d'étudier les propriétés des entiers modulo un certain nombre, appelé le modulus.
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