Polynômes à plusieurs indéterminées | Cours de Math Sup

Les polynômes à plusieurs indéterminées jouent un rôle fondamental en algèbre et en analyse. Ce cours aborde leur construction, leurs propriétés essentielles et les formules classiques d'Euler et de Taylor. Vous découvrirez comment ces concepts s'appliquent dans différents contextes mathématiques.

Définition des polynômes à plusieurs indéterminées

Un polynôme à plusieurs indéterminées est une expression algébrique composée de plusieurs variables appelées indéterminées et de coefficients appartenant à un anneau ou un corps. Contrairement aux polynômes à une seule variable, ici nous travaillons avec plusieurs variables.

Forme générale d'un polynôme à plusieurs indéterminées

La forme générale d’un polynôme à \( n \) indéterminées \( x_1, x_2, \dots, x_n \) avec des coefficients dans un anneau \( A \) s’écrit comme suit :

\[ P(x_1, x_2, \dots, x_n) = \sum_{(i_1, i_2, \dots, i_n)} a_{i_1, i_2, \dots, i_n} x_1^{i_1} x_2^{i_2} \dots x_n^{i_n} \]

• \( a_{i_1, i_2, \dots, i_n} \) sont les coefficients du polynôme et appartiennent à un anneau \( A \) (ou un corps \( K \)).
• \( x_1, x_2, \dots, x_n \) sont les indéterminées ou variables.
• \( i_1, i_2, \dots, i_n \) sont des entiers naturels représentant les exposants des indéterminées.

Chaque terme du polynôme est de la forme \( a_{i_1, i_2, \dots, i_n} x_1^{i_1} x_2^{i_2} \dots x_n^{i_n} \).

Degré d'un polynôme

Le degré total d'un polynôme est la somme des exposants des variables pour un terme donné. Par exemple :

• Pour le terme \( x^3y^2z \), le degré total est \( 3 + 2 + 1 = 6 \).
• Pour \( xy \), le degré total est \( 1 + 1 = 2 \).
• Un terme constant a un degré de \( 0 \).

Polynômes homogènes

Un polynôme est dit homogène si tous ses termes ont le même degré total. Par exemple :

• Le polynôme \( P(x, y) = 3x^2y + 2xy^2 \) est homogène de degré \( 3 \).
• Le polynôme \( Q(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 \) est homogène de degré \( 2 \).

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Construction de l'anneau de polynômes

L'anneau de polynômes est une structure algébrique fondamentale en mathématiques. Il est construit à partir d'un anneau \( A \) en introduisant une ou plusieurs indéterminées. Voici comment se déroule la construction de cet anneau :

Anneau de polynômes à une seule indéterminée

Soit \( A \) un anneau commutatif. L'ensemble des polynômes à une seule variable \( x \) avec des coefficients dans \( A \) est noté \( A[x] \). Il s’agit de l’ensemble des expressions de la forme :

\[ P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0 \]

• \( a_0, a_1, \dots, a_n \) sont des éléments de l'anneau \( A \).
• \( x \) est l'indéterminée.
• \( n \) est un entier naturel représentant le degré du polynôme.

Les opérations d'addition et de multiplication dans \( A[x] \) sont définies comme suit :

• Addition : On additionne les coefficients des termes de même degré.
• Multiplication : On applique la distributivité, puis on additionne les termes de même degré.

Exemple d'anneau de polynômes à une variable

Considérons \( \mathbb{Z}[x] \), l'anneau des polynômes en \( x \) avec des coefficients dans les entiers \( \mathbb{Z} \). Un polynôme comme :

\[ P(x) = 2x^3 - 5x^2 + 7x - 4 \]

appartient à \( \mathbb{Z}[x] \).

Anneau de polynômes à plusieurs indéterminées

On généralise cette construction en introduisant plusieurs indéterminées. L'ensemble des polynômes à \( n \) variables \( x_1, x_2, \dots, x_n \) avec des coefficients dans \( A \) est noté \( A[x_1, x_2, \dots, x_n] \). Chaque terme du polynôme est de la forme :

\[ a_{i_1, i_2, \dots, i_n} x_1^{i_1} x_2^{i_2} \dots x_n^{i_n} \]

où :

• \( a_{i_1, i_2, \dots, i_n} \in A \), les coefficients.
• \( x_1, x_2, \dots, x_n \) sont les indéterminées.
• \( i_1, i_2, \dots, i_n \) sont des entiers naturels représentant les exposants.

Les opérations d'addition et de multiplication sont les mêmes que dans le cas d'une seule variable.

Exemple de polynôme à plusieurs variables

Dans \( \mathbb{R}[x, y] \), l'anneau des polynômes en \( x \) et \( y \) avec des coefficients réels, un polynôme comme :

\[ P(x, y) = 3x^2y - 4xy^2 + 7x - 2y + 5 \]

appartient à \( \mathbb{R}[x, y] \).

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Polynômes à coefficients dans un corps

Lorsque les coefficients des polynômes appartiennent à un corps \( K \), l'anneau des polynômes possède des propriétés particulières. Un corps est un ensemble dans lequel les opérations d'addition, de soustraction, de multiplication et de division (sauf par zéro) sont définies.

Définition

Un polynôme à coefficients dans un corps \( K \) est une expression de la forme :

\[ P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0, \quad \text{avec } a_i \in K. \]

Les propriétés de l'anneau des polynômes \( K[x] \) incluent :

• Addition : Les coefficients des termes de même degré sont additionnés.
• Multiplication : Les coefficients sont multipliés entre eux conformément aux règles du corps \( K \).
• Division : Si \( K \) est un corps, alors on peut également diviser des polynômes en utilisant la division euclidienne.

Propriétés importantes

Dans un corps, les polynômes possèdent plusieurs propriétés algébriques essentielles :

• On peut effectuer des divisions euclidiennes de polynômes avec reste.
• Les polynômes irréductibles jouent un rôle clé dans la factorisation.
• Les racines d'un polynôme dans un corps permettent d'étudier les solutions d'équations polynomiales.

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Formule d'Euler pour les polynômes homogènes

La formule d'Euler est un résultat important concernant les polynômes homogènes. Un polynôme est dit homogène lorsque tous ses termes sont de même degré.

Définition d'un polynôme homogène

Un polynôme \( P(x_1, x_2, \dots, x_n) \) à plusieurs variables est dit homogène de degré \( d \) si chaque terme de \( P \) est de degré \( d \). Autrement dit, pour tout terme du polynôme :

\[ \text{degré} \, (x_1^{i_1} x_2^{i_2} \dots x_n^{i_n}) = i_1 + i_2 + \dots + i_n = d. \]

Formule d'Euler

Si \( P(x_1, x_2, \dots, x_n) \) est un polynôme homogène de degré \( d \), alors il satisfait la formule d'Euler :

\[ x_1 \frac{\partial P}{\partial x_1} + x_2 \frac{\partial P}{\partial x_2} + \dots + x_n \frac{\partial P}{\partial x_n} = d \cdot P(x_1, x_2, \dots, x_n). \]

Preuve de la formule d'Euler

Soit \( P(x_1, x_2, \dots, x_n) \) un polynôme homogène de degré \( d \). Chaque terme de \( P \) est de la forme :

\[ a_{i_1, i_2, \dots, i_n} x_1^{i_1} x_2^{i_2} \dots x_n^{i_n}. \]

Le gradient (dérivée partielle) de ce terme par rapport à \( x_k \) est donné par :

\[ \frac{\partial}{\partial x_k} (a_{i_1, i_2, \dots, i_n} x_1^{i_1} x_2^{i_2} \dots x_n^{i_n}) = a_{i_1, i_2, \dots, i_n} i_k x_1^{i_1} \dots x_k^{i_k - 1} \dots x_n^{i_n}. \]

En multipliant cette dérivée par \( x_k \) et en sommant pour toutes les variables \( x_1, x_2, \dots, x_n \), on obtient :

\[ x_1 \frac{\partial P}{\partial x_1} + x_2 \frac{\partial P}{\partial x_2} + \dots + x_n \frac{\partial P}{\partial x_n} = d \cdot P. \]

Exemple

Considérons le polynôme homogène de degré \( 3 \) suivant :

\[ P(x, y) = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3. \]

Calculons chaque terme :

• \( x \frac{\partial P}{\partial x} = x (3x^2 + 6xy + 3y^2) = 3x^3 + 6x^2y + 3xy^2 \).
• \( y \frac{\partial P}{\partial y} = y (3x^2 + 6xy + 3y^2) = 3x^2y + 6xy^2 + 3y^3 \).

En additionnant ces termes, on obtient :

\[ x \frac{\partial P}{\partial x} + y \frac{\partial P}{\partial y} = 3(x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3) = 3P(x, y). \]

La formule d'Euler est vérifiée pour \( d = 3 \).

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Formule de Taylor pour les polynômes

La formule de Taylor permet d'approximer une fonction ou un polynôme autour d'un point donné. Cette formule joue un rôle crucial dans l'analyse mathématique et dans les applications numériques.

Développement de Taylor pour un polynôme

Soit \( P(x) \) un polynôme en une variable \( x \). Le développement de Taylor de \( P \) autour du point \( a \) est donné par :

\[ P(x) = P(a) + P'(a)(x - a) + \frac{P''(a)}{2!}(x - a)^2 + \dots + \frac{P^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n, \]

où :

• \( P'(a), P''(a), \dots, P^{(n)}(a) \) sont les dérivées successives de \( P \) évaluées en \( a \).
• \( n \) est le degré du polynôme.

Exemple

Considérons le polynôme suivant :

\[ P(x) = x^2 + 2x + 3. \]

Développons \( P \) autour de \( a = 1 \) :

• \( P(1) = 1^2 + 2 \cdot 1 + 3 = 6. \)
• \( P'(x) = 2x + 2 \) donc \( P'(1) = 2 \cdot 1 + 2 = 4. \)
• \( P''(x) = 2 \), une constante.

La formule de Taylor devient alors :

\[ P(x) = 6 + 4(x - 1) + \frac{2}{2!}(x - 1)^2. \]

En simplifiant, on obtient :

\[ P(x) = 6 + 4(x - 1) + (x - 1)^2. \]

Généralisation à plusieurs variables

Si \( P(x_1, x_2, \dots, x_n) \) est un polynôme en plusieurs variables, son développement de Taylor autour d'un point \( (a_1, a_2, \dots, a_n) \) est donné par :

\[ P(x_1, x_2, \dots, x_n) = P(a_1, a_2, \dots, a_n) + \sum_{i=1}^n \frac{\partial P}{\partial x_i}(a) (x_i - a_i) + \dots \]

où les dérivées partielles successives sont utilisées pour chaque variable.

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