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1. Introduction aux systèmes linéaires
Un système d'équations linéaires est un ensemble de plusieurs équations linéaires à plusieurs variables. Sa résolution vise à trouver les valeurs des variables qui satisfont simultanément toutes les équations.
1.1 Définitions fondamentales
- Équation linéaire : Une équation de la forme générale : \[ a_1x_1 + a_2x_2 + \dots + a_nx_n = b \] où \( a_1, a_2, \dots, a_n \) sont des coefficients constants, \( x_1, x_2, \dots, x_n \) sont les variables et \( b \) est un terme constant.
- Système linéaire : Un ensemble d'équations linéaires ayant des variables communes. Exemple : \[ \begin{cases} 2x + 3y - z = 5 \\ -x + 4y + 2z = 6 \\ 3x - y + 4z = 0 \end{cases} \]
- Solutions d'un système : Une solution est un ensemble de valeurs pour les variables \( x_1, x_2, \dots, x_n \) qui satisfont toutes les équations du système.
1.2 Représentation matricielle
Un système linéaire peut être représenté sous forme matricielle. Par exemple, le système suivant :
\[ \begin{cases} 2x + y - z = 5 \\ -3x - y + 2z = -6 \\ -2x + y + 2z = -1 \end{cases} \]Se représente par la matrice augmentée :
\[ \left[ \begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & -1 & 5 \\ -3 & -1 & 2 & -6 \\ -2 & 1 & 2 & -1 \end{array} \right] \]Cette forme permet d’appliquer des opérations élémentaires sur les lignes pour résoudre le système.
1.3 Types de systèmes linéaires
-
Système compatible : Le système admet au moins une solution.
- Système compatible déterminé : Il admet une seule solution.
- Système compatible indéterminé : Il admet une infinité de solutions.
- Système incompatible : Le système n’admet aucune solution.
2. Opérations élémentaires sur les lignes
Pour résoudre un système linéaire, on utilise les opérations élémentaires sur les lignes de la matrice augmentée associée. Ces opérations permettent de simplifier le système sans changer les solutions.
2.1 Les trois opérations élémentaires
- Opération 1 : Échanger deux lignes. \[ L_i \leftrightarrow L_j \quad \text{où } L_i \text{ et } L_j \text{ sont des lignes de la matrice.} \]
- Opération 2 : Multiplier une ligne par un scalaire non nul. \[ L_i \to k \cdot L_i \quad \text{où } k \neq 0. \]
- Opération 3 : Ajouter un multiple d'une ligne à une autre. \[ L_i \to L_i + k \cdot L_j \quad \text{où } k \text{ est un scalaire.} \]
2.2 Exemple d’application des opérations
Soit la matrice augmentée suivante représentant un système linéaire :
\[ \left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & -1 & 1 \\ 3 & -1 & 1 & 4 \end{array} \right] \]Étape 1 : Échanger deux lignes
On échange \( L_1 \) et \( L_2 \) :
\[ \left[ \begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & 2 & 3 \\ 3 & -1 & 1 & 4 \end{array} \right] \]Étape 2 : Modifier \( L_2 \)
On soustrait \( \frac{1}{2} L_1 \) de \( L_2 \) :
\[ L_2 \to L_2 - \frac{1}{2} L_1 \]Le résultat est :
\[ \left[ \begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & -\frac{3}{2} & \frac{5}{2} & \frac{5}{2} \\ 3 & -1 & 1 & 4 \end{array} \right] \]Étape 3 : Ajouter un multiple de \( L_1 \) à \( L_3 \)
Pour simplifier davantage, on effectue :
\[ L_3 \to L_3 - \frac{3}{2} L_1 \]Ainsi, la matrice se simplifie progressivement jusqu’à atteindre une forme échelonnée.
2.3 Pourquoi utiliser ces opérations ?
Les opérations élémentaires sur les lignes permettent de transformer la matrice associée à un système linéaire en une forme plus simple (forme échelonnée ou forme échelonnée réduite) facilitant ainsi la résolution.
3. Méthode de Gauss
La méthode de Gauss est une technique algébrique utilisée pour résoudre un système d’équations linéaires en transformant sa matrice augmentée en une forme échelonnée. Cette méthode repose sur l’application successive des opérations élémentaires sur les lignes afin de simplifier le système.
3.1 Principe de la méthode de Gauss
La méthode consiste à transformer la matrice augmentée d'un système linéaire en une forme échelonnée par les trois opérations élémentaires :
- Échanger deux lignes (\( L_i \leftrightarrow L_j \)).
- Multiplier une ligne par un scalaire non nul (\( L_i \to k \cdot L_i \)).
- Ajouter un multiple d'une ligne à une autre (\( L_i \to L_i + k \cdot L_j \)).
Une fois la matrice sous forme échelonnée, la solution du système peut être obtenue par remontée.
3.2 Forme échelonnée d'une matrice
Une matrice est dite en forme échelonnée si :
- Les lignes non nulles (contenant au moins un coefficient différent de zéro) sont placées au-dessus des lignes nulles.
- Le premier coefficient non nul de chaque ligne (appelé pivot) est strictement à droite du pivot de la ligne précédente.
Exemple de forme échelonnée :
3.3 Étapes de la méthode de Gauss
Voici les étapes de la méthode de Gauss pour résoudre un système linéaire :
- Étape 1 : Construire la matrice augmentée du système.
- Étape 2 : Appliquer les opérations élémentaires pour transformer la matrice en forme échelonnée.
- Étape 3 : Résoudre le système par substitution en partant de la dernière équation (remontée).
3.4 Exemple complet d'application
Considérons le système suivant :
\[ \begin{cases} x + y + z = 6 \\ 2x + 3y + z = 14 \\ 4x + y - 2z = 2 \end{cases} \]Étape 1 : Construire la matrice augmentée :
\[ \left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 2 & 3 & 1 & 14 \\ 4 & 1 & -2 & 2 \end{array} \right] \]Étape 2 : Transformation en forme échelonnée
- Première opération : Soustraire \( 2 \cdot L_1 \) de \( L_2 \) : \[ L_2 \to L_2 - 2 \cdot L_1 \] Résultat : \[ \left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ 4 & 1 & -2 & 2 \end{array} \right] \]
- Deuxième opération : Soustraire \( 4 \cdot L_1 \) de \( L_3 \) : \[ L_3 \to L_3 - 4 \cdot L_1 \] Résultat : \[ \left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & -3 & -6 & -22 \end{array} \right] \]
- Troisième opération : Diviser \( L_3 \) par \(-3\) : \[ L_3 \to \frac{1}{-3} L_3 \] Résultat : \[ \left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & 2 & \frac{22}{3} \end{array} \right] \]
- Dernière opération : Soustraire \( L_2 \) de \( L_3 \) pour obtenir un pivot nul dans \( L_3 \) : \[ L_3 \to L_3 - L_2 \] Résultat final : \[ \left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 3 & 4 \end{array} \right] \]
Étape 3 : Résolution par substitution
- À partir de \( 3z = 4 \), on trouve \( z = \frac{4}{3} \).
- En substituant \( z \) dans la deuxième équation \( y - z = 2 \) : \[ y - \frac{4}{3} = 2 \implies y = \frac{10}{3}. \]
- En substituant \( y \) et \( z \) dans la première équation \( x + y + z = 6 \) : \[ x + \frac{10}{3} + \frac{4}{3} = 6 \implies x = \frac{4}{3}. \]
La solution du système est donc :
\[ x = \frac{4}{3}, \, y = \frac{10}{3}, \, z = \frac{4}{3}. \]3.5 Conclusion
La méthode de Gauss est une technique systématique et efficace pour résoudre les systèmes linéaires. Elle repose sur les opérations élémentaires pour simplifier le système jusqu'à une forme échelonnée, puis utilise la substitution pour déterminer les solutions.
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