Groupes et Sous-groupes : Résumé de Cours

Un groupe est un ensemble d'éléments avec une opération qui respecte des règles précises : chaque élément a un inverse, il existe un élément neutre, et l'opération est fermée. Les groupes sont utilisés dans de nombreuses branches des mathématiques et des sciences.

Ce cours vous permettra de découvrir les bases des groupes, comme les sous-groupes, les opérations entre groupes, et des résultats clés comme le théorème de Lagrange. Vous apprendrez aussi comment les groupes peuvent être divisés en groupes quotient et comment ils sont liés entre eux par des isomorphismes.

Groupes et leurs définitions

Un groupe est un ensemble \( G \) muni d'une opération binaire \(*\) qui satisfait les quatre propriétés fondamentales suivantes :

Fermeture : Pour tout \( a, b \in G \), \( a * b \in G \).
Associativité : Pour tout \( a, b, c \in G \), \( (a * b) * c = a * (b * c) \).
Existence d'un élément neutre : Il existe un élément \( e \in G \) tel que, pour tout \( a \in G \), \( a * e = e * a = a \).
Existence d'inverses : Pour tout \( a \in G \), il existe un élément \( b \in G \) tel que \( a * b = b * a = e \), où \( e \) est l'élément neutre.

Si l'opération binaire est commutative, c'est-à-dire que pour tout \( a, b \in G \), \( a * b = b * a \), alors le groupe est appelé groupe commutatif ou groupe abélien.

Exemple 1 : Les nombres entiers

L'ensemble des nombres entiers relatifs \( \mathbb{Z} \) muni de l'addition \( + \) est un groupe abélien. Voici pourquoi :

Fermeture : Pour tout \( a, b \in \mathbb{Z} \), \( a + b \in \mathbb{Z} \).
Associativité : L'addition est associative, c'est-à-dire \( (a + b) + c = a + (b + c) \).
Élément neutre : L'élément neutre est \( 0 \), car \( a + 0 = 0 + a = a \).
Inverses : Pour chaque \( a \in \mathbb{Z} \), son inverse est \( -a \), car \( a + (-a) = 0 \).

Sous-groupes et leurs propriétés

Un sous-groupe \( H \) d'un groupe \( G \) est un sous-ensemble de \( G \) qui est lui-même un groupe pour la même opération définie sur \( G \).

Pour qu'un sous-ensemble \( H \subseteq G \) soit un sous-groupe, les trois conditions suivantes doivent être satisfaites :

Fermeture : Pour tout \( a, b \in H \), \( a * b \in H \).
Existence de l'élément neutre : L'élément neutre \( e \) de \( G \) appartient également à \( H \).
Inverses : Pour tout \( a \in H \), l'inverse \( a^{-1} \in H \).

Si ces trois conditions sont remplies, alors \( H \) est un sous-groupe de \( G \).

Critère de sous-groupe

Pour vérifier si \( H \) est un sous-groupe de \( G \), il suffit de vérifier les deux conditions suivantes :

Pour tout \( a, b \in H \), \( a * b^{-1} \in H \).
\( H \) n'est pas vide.

Ce critère simplifie la vérification, car il regroupe les propriétés de fermeture, d'existence de l'élément neutre, et des inverses.

Exemple 1 : Les nombres pairs

L'ensemble des nombres pairs \( 2\mathbb{Z} \) est un sous-groupe de \( \mathbb{Z} \) (l'ensemble des entiers) pour l'addition. Voici pourquoi :

Fermeture : La somme de deux nombres pairs est toujours paire, donc \( 2a + 2b = 2(a+b) \in 2\mathbb{Z} \).
Élément neutre : L'élément neutre \( 0 \) appartient à \( 2\mathbb{Z} \).
Inverses : L'inverse additif de \( 2a \) est \( -2a \), qui appartient également à \( 2\mathbb{Z} \).

Homomorphismes de groupes

Un homomorphisme de groupes est une application entre deux groupes qui préserve la structure de groupe. Soient \( G \) et \( H \) deux groupes avec des lois de composition respectives \( * \) et \( \cdot \). Une application \( \phi : G \to H \) est un homomorphisme si, pour tout \( a, b \in G \), la propriété suivante est satisfaite :

\[ \phi(a * b) = \phi(a) \cdot \phi(b) \]

Cela signifie que l'image du produit de deux éléments dans \( G \) est égale au produit des images de ces éléments dans \( H \).

Propriétés des homomorphismes

Un homomorphisme envoie l'élément neutre de \( G \) sur l'élément neutre de \( H \) : \[ \phi(e_G) = e_H \] où \( e_G \) et \( e_H \) sont les éléments neutres respectifs de \( G \) et \( H \).
Un homomorphisme préserve les inverses : \[ \phi(a^{-1}) = \phi(a)^{-1} \quad \text{pour tout } a \in G. \]
Si \( \phi \) est un homomorphisme et \( a, b \in G \), alors : \[ \phi(a^n) = \phi(a)^n \quad \text{pour tout entier } n. \]

Types d’homomorphismes

Monomorphisme : Un homomorphisme injectif (\( \phi \) est une application injective).
Épimorphisme : Un homomorphisme surjectif (\( \phi \) est une application surjective).
Isomorphisme : Un homomorphisme bijectif (\( \phi \) est une application bijective). Dans ce cas, \( G \) et \( H \) sont dits isomorphes.

Exemple : Homomorphisme entre \( (\mathbb{Z}, +) \) et \( (\mathbb{Z}_n, +) \)

Considérons l'application \( \phi : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}_n \) définie par \( \phi(a) = a \mod n \). Cette application est un homomorphisme, car pour tout \( a, b \in \mathbb{Z} \) : \[ \phi(a + b) = (a + b) \mod n = (a \mod n) + (b \mod n) = \phi(a) + \phi(b). \]

Sous-groupe engendré par une partie

Soit \( G \) un groupe et \( S \) une partie quelconque de \( G \). Le sous-groupe engendré par \( S \), noté \( \langle S \rangle \), est le plus petit sous-groupe de \( G \) contenant \( S \). Cela signifie que :

\( \langle S \rangle \) est un sous-groupe de \( G \).
\( \langle S \rangle \) contient tous les éléments de \( S \).
Tout autre sous-groupe de \( G \) contenant \( S \) contient également \( \langle S \rangle \).

Construction de \( \langle S \rangle \)

Le sous-groupe engendré par \( S \) peut être construit en prenant toutes les combinaisons finies des éléments de \( S \) et de leurs inverses. Autrement dit, tout élément de \( \langle S \rangle \) peut être écrit sous la forme :

\[ g = s_1^{k_1} * s_2^{k_2} * \dots * s_n^{k_n}, \]

où \( s_1, s_2, \dots, s_n \in S \), \( k_1, k_2, \dots, k_n \in \mathbb{Z} \), et \( * \) est l'opération du groupe \( G \).

Cas particulier : Élément seul

Si \( S = \{a\} \), alors \( \langle S \rangle = \langle a \rangle \) est le sous-groupe cyclique engendré par \( a \), c’est-à-dire l’ensemble des puissances de \( a \) :

\[ \langle a \rangle = \{a^n \mid n \in \mathbb{Z}\}. \]

Ce sous-groupe est fini si \( a \) a un ordre fini, et infini sinon.

Exemple : Sous-groupe de \( (\mathbb{Z}, +) \)

Considérons \( G = \mathbb{Z} \) et \( S = \{d\} \), où \( d \in \mathbb{Z} \setminus \{0\} \). Le sous-groupe engendré par \( S \) est :

\[ \langle d \rangle = \{nd \mid n \in \mathbb{Z}\}. \]

C’est l’ensemble des multiples de \( d \), qui correspond à un sous-groupe cyclique de \( (\mathbb{Z}, +) \).

Relations modulo un sous-groupe

Soit \( G \) un groupe et \( H \) un sous-groupe de \( G \). Une relation d'équivalence peut être définie sur \( G \) à l'aide de \( H \). Cette relation, appelée relation modulo \( H \), est définie comme suit :

\[ a \sim b \iff ab^{-1} \in H, \]

où \( a, b \in G \). En d'autres termes, deux éléments \( a \) et \( b \) de \( G \) sont équivalents modulo \( H \) si et seulement si leur produit \( ab^{-1} \) appartient à \( H \).

Classes d'équivalence

La relation modulo \( H \) partitionne \( G \) en classes d'équivalence appelées classes à gauche ou cosets à gauche. Une classe à gauche de \( H \) est définie comme :

\[ aH = \{ah \mid h \in H\}, \]

où \( a \in G \). De même, on peut définir les cosets à droite :

\[ Ha = \{ha \mid h \in H\}. \]

Lorsque \( H \) est un sous-groupe normal de \( G \), les classes à gauche et à droite coïncident, c’est-à-dire \( aH = Ha \) pour tout \( a \in G \).

Groupe Quotient

Si \( H \) est un sous-groupe normal de \( G \), alors les classes d'équivalence formées par \( H \) permettent de définir un nouveau groupe, appelé groupe quotient, noté \( G/H \). L’ensemble des classes à gauche devient alors l’ensemble des éléments du groupe quotient, avec l’opération définie par :

\[ (aH) * (bH) = (ab)H. \]

Cette opération est bien définie et \( G/H \) est un groupe.

Exemple : Groupe \( (\mathbb{Z}, +) \) modulo \( n\mathbb{Z} \)

Considérons le groupe \( G = \mathbb{Z} \) et le sous-groupe \( H = n\mathbb{Z} \), où \( n \in \mathbb{Z}_{>0} \). La relation d'équivalence modulo \( H \) est définie par :

\[ a \sim b \iff a - b \in n\mathbb{Z}. \]

Les classes d'équivalence sont les congruences modulo \( n \), et le groupe quotient \( \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \) est isomorphe au groupe cyclique d’ordre \( n \).

Théorème de Lagrange

Le théorème de Lagrange est un résultat fondamental en théorie des groupes. Il établit une relation entre l'ordre d'un groupe fini et l'ordre de ses sous-groupes.

Soit \( G \) un groupe fini et \( H \) un sous-groupe de \( G \). Alors, l'ordre de \( H \) divise l'ordre de \( G \), c'est-à-dire : \[ |G| = |H| \cdot [G : H] \] où \( |G| \) est l'ordre du groupe \( G \) (le nombre d'éléments de \( G \)), \( |H| \) est l'ordre du sous-groupe \( H \), et \( [G : H] \) est l'indice de \( H \) dans \( G \) (le nombre de classes à gauche de \( H \) dans \( G \)).

Conséquences

L'ordre de chaque élément \( g \in G \) divise l'ordre du groupe \( G \).
Si \( G \) est un groupe d'ordre premier \( p \), alors \( G \) est cyclique et chaque élément différent de l'élément neutre est générateur.

Groupes cycliques

Un groupe \( G \) est dit cyclique s'il existe un élément \( g \in G \), appelé générateur, tel que tout élément de \( G \) peut s'écrire comme une puissance (ou multiple, si l'opération est additive) de \( g \).

En d'autres termes, pour un groupe cyclique \( G \), on a : \[ G = \langle g \rangle = \{g^n \mid n \in \mathbb{Z}\}. \]

Propriétés

Tout sous-groupe d'un groupe cyclique est lui-même cyclique.
Si \( G \) est un groupe cyclique d'ordre \( n \), alors pour chaque diviseur \( d \) de \( n \), il existe un sous-groupe unique de \( G \) d'ordre \( d \).
Les groupes \( (\mathbb{Z}, +) \) et \( (\mathbb{Z}_n, +) \) sont des exemples classiques de groupes cycliques.

Sous-groupes Distingués et Groupes Quotients

Un sous-groupe \( H \) d'un groupe \( G \) est dit distingué ou normal si, pour tout élément \( g \in G \), on a \( gH = Hg \), c'est-à-dire que \( gH = H g \). Formellement, un sous-groupe \( H \) est normal si et seulement si pour tout \( h \in H \) et \( g \in G \), \( ghg^{-1} \in H \).

Définition du groupe quotient

Si \( H \) est un sous-groupe normal de \( G \), on peut définir le groupe quotient \( G/H \) comme l'ensemble des classes à gauche de \( H \) dans \( G \). Les éléments de \( G/H \) sont les ensembles de la forme \( gH = \{gh \mid h \in H\} \) pour chaque \( g \in G \).

Propriétés du groupe quotient

L'ensemble \( G/H \) est un groupe sous l'opération de multiplication définie par \( (gH)(g'H) = (gg')H \).
Si \( G \) est un groupe abélien, alors tous ses sous-groupes sont normaux, et donc chaque groupe quotient est aussi abélien.

Théorèmes d'Isomorphismes

Les théorèmes d'isomorphismes permettent de comprendre les relations entre les groupes en termes de structure. Ils aident à établir quand deux groupes sont essentiellement équivalents sur le plan structurel.

Premier Théorème d'Isomorphisme

Si \( H \) est un sous-groupe normal de \( G \), alors le groupe quotient \( G/H \) est isomorphe à l'image de \( G \) dans le groupe quotient. Formellement, si \( \varphi : G \to G/H \) est l'application naturelle, alors : \[ G/H \cong \operatorname{Im}(\varphi). \]

Deuxième Théorème d'Isomorphisme

Si \( H \) est un sous-groupe normal de \( G \), alors : \[ G/H \cong G / \ker(\varphi). \] Ce théorème stipule que la structure de \( G/H \) est équivalente à \( G / \ker(\varphi) \), ce qui permet de faire des comparaisons de structure entre les groupes.

Troisième Théorème d'Isomorphisme

Si \( H \) et \( K \) sont des sous-groupes normaux de \( G \), alors : \[ (G/H) / (K/H) \cong G / K. \]

Groupes Symétriques

Un groupe symétrique \( S_n \) est le groupe des permutations d'un ensemble de \( n \) éléments. Les éléments de \( S_n \) sont donc les différentes façons dont on peut réorganiser les éléments de cet ensemble. Le groupe symétrique \( S_n \) est un groupe non abélien pour \( n \geq 3 \).

Définition des Groupes Symétriques

Le groupe symétrique \( S_n \) est l'ensemble de toutes les permutations de \( n \) éléments. Il contient \( n! \) éléments. L'opération de ce groupe est la composition de permutations.

Propriétés des Groupes Symétriques

Le groupe \( S_n \) est non abélien pour \( n \geq 3 \).
Le groupe \( S_n \) contient des sous-groupes normaux comme le groupe alterné \( A_n \), qui est composé des permutations paires.
Le groupe symétrique \( S_n \) est généré par les transpositions (permutations qui échangent deux éléments).

Groupes Alternés

Le groupe alterné \( A_n \) est un sous-groupe de \( S_n \), constitué des permutations paires de \( n \) éléments. Une permutation est dite paire si elle peut être obtenue par un nombre pair de transpositions.

Définition des Groupes Alternés

Le groupe alterné \( A_n \) est l'ensemble des permutations paires de l'ensemble \( \{1, 2, \dots, n\} \). Le groupe \( A_n \) est un sous-groupe normal de \( S_n \) et contient \( n!/2 \) éléments.

Propriétés des Groupes Alternés

Le groupe \( A_n \) est abélien pour \( n \leq 4 \), mais il devient non abélien pour \( n \geq 5 \).
Pour \( n \geq 5 \), le groupe \( A_n \) est simple, ce qui signifie qu'il n'a pas de sous-groupes normaux autres que lui-même et le groupe trivial.
Le groupe alterné \( A_n \) est un sous-groupe normal de \( S_n \).

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