LeXMath

Exercice 1 : Calculer des expressions carrées et racines Énoncé Calculer : \(\sqrt{9}\), \(\sqrt{121}\), \(\sqrt{72}\), \((-8)^2\), \((4 \times 3)^2\), \(\sqrt{0,04}\), \(\sqrt{1,96}\), \(\sqrt{(-2)^2}\), \(\frac{1}{49}\), \((-1)^{2020}\) Indications ▼ Simplifiez chaque expression en trouvant la valeur exacte. Solution ▼ \(\sqrt{9} = 3\) \(\sqrt{121} = 11\) \(\sqrt{72} = 6\sqrt{2}\) \((-8)^2 = 64\) \((4 \times 3)^2 = 144\) \(\sqrt{0,04} = 0,2\) \(\sqrt{1,96} = 1,4\) \(\sqrt{(-2)^2} = 2\) \(\frac{1}{49} = \frac{1}{49}\) \((-1)^{2020} = 1\) Exercice 2 : Calculer des valeurs d'expressions racinées Énoncé Calculer les valeurs suivantes : \( A = \sqrt{100 - 36} \), \( B = \sqrt{10^2 - 6^2} \), \( C = \sqrt{3 \times \sqrt{2}} \), \( D = \sq...

Introduction au théorème de Thalès : l'essentiel à savoir Le théorème de Thalès est un pilier fondamental de la géométrie , utilisé quotidiennement dans de nombreux domaines comme l'architecture, l'ingénierie et le design. Il permet de calculer des longueurs inaccessibles et de prouver le parallélisme entre deux droites . Le théorème direct de Thalès expliqué simplement 📐 L'énoncé du théorème de Thalès Dans un triangle , si une droite est parallèle à un côté, alors elle détermine sur les deux autres côtés des segments proportionnels. En termes mathématiques, si les points A, B et M d'une part, et A, C et N d'autre part sont alignés, et si les droites (BC) et (MN) sont parallèles , alors : \[ \frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC} \] 🔍 Remarque : Les différentes configurations possibles Il e...

I- Puissance d’un nombre rationnel : 1- Puissance à exposant positif  a- Définition  Soit \(a\) un nombre rationnel non nul, et \(n\) est un entier naturel non nul : \(a^n = a \times a \times a \times \dots \times a\) (n facteurs) \(a\) est la base de la puissance et \(n\) est l’ exposant de la puissance. b- Cas particuliers  Si \(n = 1\), alors : \(a^1 = a\) Si \(n = 0\) et \(a \neq 0\), alors : \(a^0 = 1\) Si \(n \neq 0\) et \(a = 0\), alors : \(0^n = 0\) \(0^0\) n’existe pas. \(a^2\) se lit : a exposant 2 ou a puissance 2 ou a au carré \(a^3\) se lit : a exposant 3 ou a puissance 3 ou a au cube c- Exemples  \((-5)^2 = 25\) \(\left(-\frac{2}{3}\right)^3 = -\frac{8}{27}\) \(-4^2 = -16\)...

I- Réduire une expression littérale : 1) Expression littérale : Une expression littérale est une expression qui s’écrit avec une ou plusieurs lettres, chacune de ces lettres désignant un nombre dont on ne connaît pas la valeur. Exemples : A = \(5x^2 - 7y + 4\) est une expression littérale. Les nombres \(5x^2\), \(-7y\), et \(4\) s’appellent les termes de l’expression A. Calculons la valeur de A pour \(x = 2\) et \(y = -1\) : A = \(5 \cdot 2^2 - 7 \cdot (-1) + 4 = 5 \cdot 4 + 7 + 4 = 20 + 7 + 4 = 31\) 2) Réduire une expression littérale : Réduire une expression littérale, c’est l’écrire avec le moins de termes possible. Exemples : Réduire les expressions suivantes : \(B = 2x + 7 + 5x + 3\) \(C = 6x^2 + 8x - 5x + 3x^2\) \(D = 3xy - 5x^2 + 1 + 2xy + 3x - 6x\) II- Développement : ...

I - La Racine Carrée d’un Nombre Réel Positif Définition La racine carrée d'un nombre réel positif \( c \) est le nombre réel positif dont le carré est égal à \( c \) noté \( \sqrt{c} \). Le symbole \( \sqrt{} \) est appelé " radical ". Résultat Si \( a \) est un nombre réel positif : \( \sqrt{a^2} = a \) \( \sqrt{9} = 3 \) \( \sqrt{49} = 7 \) \( \sqrt{a} \cdot \sqrt{a} = a \) Exemple Si \( a \) (a positif) alors : \( \sqrt{a^2} = a \) Propriété Si \( a \) (a positif) alors : \( \sqrt{a} \) est le nombre positif dont le carré est \( a \). Remarques La racine carrée d'un nombre négatif n'est pas un réel. La racine carrée d'un nombre n'est jamais égale à un nombre négatif. II - Résolution de l'Équation : \( x^2 = a \) Règle ...

Exercise 1 : Étude d'une suite définie par récurrence et démonstration de croissance Énoncé Soit la suite \( (u_n) \) définie par \( u_0 = 5 \) et \( u_{n+1} = 3u_n - 4 \). Calculer les termes \( u_1 \), \( u_2 \) et \( u_3 \). Montrer par récurrence que \( u_n > 2 \) pour tout \( n \in \mathbb{N} \). Montrer que \( (u_n) \) est croissante. Indications ▼ Pour la question 1, utilisez la relation de récurrence pour calculer chaque terme en fonction du précédent. Pour la question 2, appliquez une démonstration par récurrence en posant une hypothèse pour \( u_k > 2 \) et en montrant que \( u_{k+1} > 2 \). Pour la question 3, montrez que \( u_{n+1} > u_n \) en calculant la différence \( u_{n+1} - u_n \) et en vérifiant sa positivité. Solution ▼ 1. Calcul des termes \( u_1 \), \( u_2 \) et \( u_...

Exercise 1 | Étude de fonctions : domaines, dérivabilité et tangentes Énoncé 1. Soit une fonction définie par \( f(x) = \sqrt{x^2 - 1} \) a) Déterminer \( D_f \) b) Étudier la dérivabilité de \( f \) en \( x = 0 \) c) Déterminer l'équation de la tangente à (C) 2. Soit une fonction définie par \( f(x) = x - \sqrt{1 - 3x} \) a) Déterminer \( D_f \) b) Étudier la dérivabilité de \( f \) à droite en \( x = \frac{1}{3} \) c) Puis interpréter graphiquement le résultat obtenu 3. Soit une fonction définie par \( f(x) = x - \sqrt{-1 + x} \) a) Déterminer \( D_f \) b) Étudier la dérivabilité de \( f \) à gauche en \( x = 1 \) c) Interpréter graphiquement le résultat obtenu Indications ▼ - P...

🔖 Intégration d'une fonction continue sur un segment 📌 Définition Soit \( f \) une fonction continue sur un intervalle \( I \), \( F \) une primitive de \( f \) sur \( I \), et \( a \) et \( b \) deux éléments de \( I \). Le nombre réel \( F(b) - F(a) \) est appelé l' intégrale de \( a \) à \( b \) de la fonction \( f \) et se note : \[ \int_a^b f(x) \, dx = \left[ F(x) \right]_a^b = F(b) - F(a). \] 🔄 Remarque Dans l'écriture \( \int_a^b f(x) \, dx \), on peut remplacer la variable \( x \) par n'importe quelle autre variable (x est dite une variable muette), c'est-à-dire : \( \int_a^b f(x) \, dx = \int_a^b f(t) \, dt = \int_a^b f(\theta) \, d\theta = \ldots \). 🔍 Propriété \[ \int_a^a f(x) \, dx = 0 \quad ; \quad \int_a^b f(x) \, dx = -\int_b^a f(x) \, dx. \] 🔖 Relation de Chasles – Linéarité de l'Intégrale 🔗 Relation de Chasles ...