I- Puissance d’un nombre rationnel :
1- Puissance à exposant positif
a- Définition
Soit \(a\) un nombre rationnel non nul, et \(n\) est un entier naturel non nul :
\(a^n = a \times a \times a \times \dots \times a\) (n facteurs)
\(a\) est la base de la puissance et \(n\) est l’exposant de la puissance.
b- Cas particuliers
- Si \(n = 1\), alors : \(a^1 = a\)
- Si \(n = 0\) et \(a \neq 0\), alors : \(a^0 = 1\)
- Si \(n \neq 0\) et \(a = 0\), alors : \(0^n = 0\)
- \(0^0\) n’existe pas.
\(a^2\) se lit : a exposant 2 ou a puissance 2 ou a au carré
\(a^3\) se lit : a exposant 3 ou a puissance 3 ou a au cube
c- Exemples
- \((-5)^2 = 25\)
- \(\left(-\frac{2}{3}\right)^3 = -\frac{8}{27}\)
- \(-4^2 = -16\)
- \(\left(\frac{11}{6}\right)^0 = 1\)
- \((-2022)^1 = -2022\)
2- Puissance à exposant négatif
a- Définition
Soient \(x\) et \(\frac{a}{b}\) deux nombres rationnels non nuls, et \(n\) est un entier naturel non nul :
\(x^{-n} = \frac{1}{x^n}\) et \(\left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \frac{(b)}{(a)^n}\)
b- Exemples
- \(2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}\)
- \(\left(-\frac{2}{3}\right)^{-2} = \frac{9}{4}\)
c- Exercice
Calculer :
- \(2^3\)
- \((-5)^{-2}\)
- \(\left(\frac{4}{3}\right)^2\)
- \(\left(\frac{2}{-3}\right)^{-3}\)
- \(-7421^0\)
- \(\left(-\frac{9}{7}\right)^{-2}\)
- \(\left(-\frac{1}{2}\right)^5\)
- \(-2021^1\)
- \(\left(\frac{5}{3}\right)^{-4}\)
II- Signe d’une puissance de base négative
a- Définition
Le signe d’une puissance est négatif, si la base est négative et l’exposant soit un nombre impair.
Le signe d’une puissance d’un nombre décimal relatif est positif dans les autres cas.
b- Exemples
- \(\left(-9\right)^4\) est positive car l’exposant est pair
- \(\left(\frac{8}{11}\right)^3\) est positive car la base est positive
- \(\left(-\frac{6}{13}\right)^7\) est négative car la base est négative et l’exposant est impair
c- Exercice
Déterminer le signe de chacune des puissances suivantes :
- \(\left(-\frac{9}{5}\right)^{10}\)
- \(\left(\frac{3}{-14}\right)^9\)
- \(\left(-\frac{4}{5}\right)^{22}\)
- \(\left(-\frac{1}{8}\right)^8 \times \left(-\frac{5}{9}\right)^3\)
- \(-\left(-\frac{4}{7}\right)^{22}\)
III- Les opérations sur les puissances
a- Définition
Soient \(a\) et \(b\) deux nombres décimaux relatifs non nuls, et \(m\) et \(n\) deux nombres entiers naturels.
- \(a^m \times a^n = a^{m+n}\)
- \(a^m \times b^m = (a \times b)^m\)
- \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\)
- \(\frac{a^m}{b^m} = \left(\frac{a}{b}\right)^m\)
- \((a^m)^n = a^{m \times n}\)
(Puissance de puissance)
b- Exemples
Écrire sous forme d’une puissance :
- \(\left(-2\right)^4 \times \left(\frac{2}{9}\right)^{10} \div \left(\frac{1}{2}\right)^6\)
- \(\left(\frac{-5}{3}\right)^4\)
- \(\frac{\left(4\right)^3}{\left(-3\right)^3} = \frac{\left(-2\right)^5}{\left(\frac{4}{3}\right)^7}\)
- \(\frac{\left(3\right)^{11}}{\left(-9\right)^{2}}\)
c- Exercice
-
Calculer les puissances suivantes :
- \(A = \frac{-1}{2} \times \left(-\frac{1}{2}\right)^{-3}\)
- \(B = \frac{(11)^{-4}}{(11)^4}\)
- \(C = \frac{\left(\frac{2}{3}\right)^3}{\left(\frac{5}{8}\right)^5} \times 57^{4} = -2021^{1}\)
- \(D = \frac{5}{3}^4\)
-
Soient \(a\) et \(b\) deux nombres rationnels non nuls, écrire sous forme d’une puissance les expressions suivantes :
- \(A = a^{-4} \times a^3 \times \frac{1}{a^{-7}}\)
- \(B = \frac{\left(a^5 \times a\right)^{-2}}{a^{b}}\)
- \(C = \frac{\left(a \times b^5\right)^3 \times a^{a}}{a^{5}}\)
IV- Les puissances de 10
1- Propriété
Soit \(n\) un nombre entier naturel.
- \(10^n = 1\underbrace{000\ldots000}_{n \text{ de zéros}}\)
- \(10^{-n} = 0,000\ldots0001\) (n zéros après la virgule)
Exemples
- \(10^1 = 10\)
- \(10^2 = 100\)
- \(10^6 = 1000000\)
- \(10^{-1} = 0,1\)
- \(10^{-2} = 0,01\)
- \(10^{-6} = 0,000001\)
2- L’écriture scientifique d’un nombre décimal relatif
Soient \(a\) un nombre décimal relatif et \(n\) un entier naturel. Toute écriture sous forme \(x = a \times 10^n\) et \(x = a \times 10^n\) est appelée écriture scientifique tel que : \(1 \leq a < 10\).
Exemples
- \(A = 57462\)
- \(B = -0,008657\)
- \(C = -642,7 \times 10^{-5}\)
- \(D = 0,00134 \times 10^{-4}\)
- \(E = -45,1 \times 10^{-3} \times 2,03 \times 10^8\)
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