Exercice 1 : Calculer des expressions carrées et racines
Énoncé
Calculer : \(\sqrt{9}\), \(\sqrt{121}\), \(\sqrt{72}\), \((-8)^2\), \((4 \times 3)^2\), \(\sqrt{0,04}\), \(\sqrt{1,96}\), \(\sqrt{(-2)^2}\), \(\frac{1}{49}\), \((-1)^{2020}\)
Indications
▼Simplifiez chaque expression en trouvant la valeur exacte.
Solution
▼- \(\sqrt{9} = 3\)
- \(\sqrt{121} = 11\)
- \(\sqrt{72} = 6\sqrt{2}\)
- \((-8)^2 = 64\)
- \((4 \times 3)^2 = 144\)
- \(\sqrt{0,04} = 0,2\)
- \(\sqrt{1,96} = 1,4\)
- \(\sqrt{(-2)^2} = 2\)
- \(\frac{1}{49} = \frac{1}{49}\)
- \((-1)^{2020} = 1\)
Exercice 2 : Calculer des valeurs d'expressions racinées
Énoncé
Calculer les valeurs suivantes :
\( A = \sqrt{100 - 36} \), \( B = \sqrt{10^2 - 6^2} \), \( C = \sqrt{3 \times \sqrt{2}} \), \( D = \sqrt{7 \times \sqrt{28}} \), \( E = \sqrt{50 \times \sqrt{10}} \), \( F = \frac{9}{\sqrt{10} \times \sqrt{81}} \)
Indications
▼Calculez chaque expression en simplifiant le résultat.
Solution
▼- \( A = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8 \)
- \( B = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = 8 \)
- \( C = \sqrt{3 \times \sqrt{2}} \)
- \( D = \sqrt{7 \times \sqrt{28}} \)
- \( E = \sqrt{50 \times \sqrt{10}} \)
- \( F = \frac{9}{\sqrt{10} \times \sqrt{81}} \)
Exercice 3 : Simplification d'expressions avec des racines
Énoncé
Soient \(a\) et \(b\) des nombres réels positifs différents de zéro. Simplifier :
\( A = \sqrt{36a} \), \( B = \sqrt{144a^2} \), \( C = \frac{\sqrt{a^2}}{\sqrt{9}} \), \( D = \sqrt{5a^2} \), \( E = \sqrt{225a} \), \( F = \sqrt{121a} \)
Indications
▼Utilisez les propriétés des racines pour simplifier chaque expression.
Solution
▼- \( A = \sqrt{36a} = 6\sqrt{a} \)
- \( B = \sqrt{144a^2} = 12a \)
- \( C = \frac{\sqrt{a^2}}{\sqrt{9}} = \frac{a}{3} \)
- \( D = \sqrt{5a^2} = a\sqrt{5} \)
- \( E = \sqrt{225a} = 15\sqrt{a} \)
- \( F = \sqrt{121a} = 11\sqrt{a} \)
Exercice 4 : Calculer et simplifier des expressions avec racines
Énoncé
Calculer et simplifier (a, b > 0) :
\[ I = 3\sqrt{8} - 3\sqrt{72} + 3\sqrt{128} \quad J = 2\sqrt{80} - 4\sqrt{45} - \sqrt{20} \]
\[ K = \sqrt{125} - 3\sqrt{45} - 20 - 2\sqrt{80} \quad L = \sqrt{961} + \sqrt{729} \]
\[ M = 2\sqrt{25a^2} + \sqrt{16a^2} - 4a\sqrt{3} \]
Indications
▼Simplifiez chaque expression en réduisant les radicaux et en regroupant les termes semblables.
Solution
▼- \( I = 3\sqrt{8} - 3\sqrt{72} + 3\sqrt{128} \)
- \( = 3\sqrt{8} - 3 \times 6\sqrt{2} + 3 \times 8\sqrt{2} \)
- \( = 3\sqrt{8} + 18\sqrt{2} + 24\sqrt{2} \)
- \( = 3\sqrt{8} + 42\sqrt{2} \)
- \( J = 2\sqrt{80} - 4\sqrt{45} - \sqrt{20} \)
- \( = 2 \times 4\sqrt{5} - 4 \times 3\sqrt{5} - \sqrt{20} \)
- \( = 8\sqrt{5} - 12\sqrt{5} - 2\sqrt{5} \)
- \( = -6\sqrt{5} \)
- \( K = \sqrt{125} - 3\sqrt{45} - 20 - 2\sqrt{80} \)
- \( = 5\sqrt{5} - 3 \times 3\sqrt{5} - 20 - 2 \times 4\sqrt{5} \)
- \( = 5\sqrt{5} - 9\sqrt{5} - 20 - 8\sqrt{5} \)
- \( = -12\sqrt{5} - 20 \)
- \( L = \sqrt{961} + \sqrt{729} \)
- \( = 31 + 27 \)
- \( = 58 \)
- \( M = 2\sqrt{25a^2} + \sqrt{16a^2} - 4a\sqrt{3} \)
- \( = 2 \times 5a + 4a - 4a\sqrt{3} \)
- \( = 10a + 4a - 4a\sqrt{3} \)
- \( = 14a - 4a\sqrt{3} \)
Exercice 5 : Écrire sans radical au dénominateur
Énoncé
Écrire sans radical au dénominateur les nombres suivants :
\[ \frac{2}{\sqrt{3}}, \quad \frac{5}{\sqrt{7}}, \quad \frac{1 + \sqrt{7}}{2}, \quad \frac{-1 + \sqrt{6}}{\sqrt{7}}, \quad \frac{6 - 5\sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}} \]
Indications
▼Multipliez le numérateur et le dénominateur par le conjugué si nécessaire pour éliminer le radical.
Solution
▼- \( \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3} \)
- \( \frac{5}{\sqrt{7}} = \frac{5 \cdot \sqrt{7}}{\sqrt{7} \cdot \sqrt{7}} = \frac{5\sqrt{7}}{7} \)
- \( \frac{1 + \sqrt{7}}{2} \) (pas besoin de simplification)
- \( \frac{-1 + \sqrt{6}}{\sqrt{7}} = \frac{(-1 + \sqrt{6}) \cdot \sqrt{7}}{7} = \frac{-\sqrt{7} + \sqrt{42}}{7} \)
- \( \frac{6 - 5\sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}} = \frac{(6 - 5\sqrt{3})(2 - \sqrt{3})}{(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})} = \frac{12 - 6\sqrt{3} - 10\sqrt{3} + 5 \cdot 3}{4 - 3} = \frac{27 - 16\sqrt{3}}{1} = 27 - 16\sqrt{3} \)
Exercice 6 : Simplification d'expressions avec racines
Énoncé
On considère l'expression \( a = \sqrt{7} + 4\sqrt{3} + \sqrt{7} - 4\sqrt{3} \)
1) Calculer \( a^2 \)
2) En déduire une écriture simplifiée de \( a \)
Indications
▼Regroupez les termes identiques et simplifiez.
Solution
▼- Calcul de \( a \):
- \( a = (\sqrt{7} + 4\sqrt{3}) + (\sqrt{7} - 4\sqrt{3}) \)
- \( a = 2\sqrt{7} \)
- Calcul de \( a^2 \):
- \( a^2 = (2\sqrt{7})^2 = 4 \cdot 7 = 28 \)
Exercice 7 : Opérations avec des racines
Énoncé
On considère les nombres \( x \) et \( y \) tels que :
\[ x = \sqrt{3} + \sqrt{5} \quad \text{et} \quad y = \sqrt{3} - \sqrt{5} \]
a. Calculer \( x^2 \), \( y^2 \), \( xy \), et \( (x - y)^2 \).
b. En déduire l'écriture simplifiée de \( x + y \).
c. Montrer que \( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{2}{x - y} \).
Indications
▼Utilisez les identités remarquables et simplifiez les expressions.
Solution
▼- a. Calcul des expressions :
- \( x^2 = (\sqrt{3} + \sqrt{5})^2 = 3 + 5 + 2\sqrt{15} = 8 + 2\sqrt{15} \)
- \( y^2 = (\sqrt{3} - \sqrt{5})^2 = 3 + 5 - 2\sqrt{15} = 8 - 2\sqrt{15} \)
- \( xy = (\sqrt{3} + \sqrt{5})(\sqrt{3} - \sqrt{5}) = 3 - 5 = -2 \)
- \( (x - y)^2 = (2\sqrt{5})^2 = 4 \cdot 5 = 20 \)
- b. Écriture simplifiée de \( x + y \) :
- \( x + y = (\sqrt{3} + \sqrt{5}) + (\sqrt{3} - \sqrt{5}) = 2\sqrt{3} \)
- c. Montrons que \( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{2}{x - y} \) :
- \( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{x + y}{xy} = \frac{2\sqrt{3}}{-2} = -\sqrt{3} \)
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