🔖 Intégration d'une fonction continue sur un segment
📌 Définition
Soit \( f \) une fonction continue sur un intervalle \( I \), \( F \) une primitive de \( f \) sur \( I \), et \( a \) et \( b \) deux éléments de \( I \). Le nombre réel \( F(b) - F(a) \) est appelé l'intégrale de \( a \) à \( b \) de la fonction \( f \) et se note : \[ \int_a^b f(x) \, dx = \left[ F(x) \right]_a^b = F(b) - F(a). \]
🔄 Remarque
Dans l'écriture \( \int_a^b f(x) \, dx \), on peut remplacer la variable \( x \) par n'importe quelle autre variable (x est dite une variable muette), c'est-à-dire : \( \int_a^b f(x) \, dx = \int_a^b f(t) \, dt = \int_a^b f(\theta) \, d\theta = \ldots \).
🔍 Propriété
\[ \int_a^a f(x) \, dx = 0 \quad ; \quad \int_a^b f(x) \, dx = -\int_b^a f(x) \, dx. \]
🔖 Relation de Chasles – Linéarité de l'Intégrale
🔗 Relation de Chasles
Soit \( f \) une fonction continue sur un intervalle \([a, c]\), et \( b \in [a, c] \).
On a :
\[
\int_a^c f(x) \, dx = \int_a^b f(x) \, dx + \int_b^c f(x) \, dx.
\]
📈 Linéarité
Si \( f \) et \( g \) sont deux fonctions continues sur un intervalle \([a, b]\), et \( (\alpha, \beta) \in \mathbb{R}^2 \), alors : \[ \int_a^b (\alpha f(x) + \beta g(x)) \, dx = \alpha \int_a^b f(x) \, dx + \beta \int_a^b g(x) \, dx. \]
🔖 Intégration par Parties
Soit \( u \) et \( v \) deux fonctions dérivables sur un intervalle \( I \) telles que \( u' \) et \( v' \) soient continues sur \( I \). Soit \( a \) et \( b \) deux éléments de \( I \).
On a :
\[
\int_a^b u'(x) \cdot v(x) \, dx = \left[ u(x) \cdot v(x) \right]_a^b - \int_a^b u(x) \cdot v'(x) \, dx.
\]
Cette formule est appelée formule de l'intégration par parties.
📝 Exemple
En utilisant une intégration par parties : Calculer \( I = \int_1^e x \ln(x) \, dx \).
Pour déterminer la fonction primitive et la fonction dérivée, on utilise la méthode suivante : ALPESC
ALPESC :
- A : Arctan
- L : ln (Logarithme)
- P : Polynôme
- E : Exp (Exponential)
- S : Sin (Sinus)
- C : Cos (Cosinus)
Donc : On pose \( u(x) = \ln x \) donc : \( u'(x) = \frac{1}{x} \)
\( v'(x) = x \) donc : \( v(x) = \frac{1}{2}x^2 \)
\( u \) et \( v \) sont dérivables sur \([1, e]\), et \( u' \) et \( v' \) sont continues sur l'intervalle \([1, e]\), d'après la propriété de l'intégration par parties on a : \[ I = \int_1^e x \ln(x) \, dx = \left[ \frac{1}{2}x^2 \ln x \right]_1^e - \int_1^e \frac{1}{2}x^2 \cdot \frac{1}{x} \, dx \] \[ I = \left[ \frac{1}{2}x^2 \ln x \right]_1^e - \frac{1}{2}\int_1^e x \, dx \] \[ I = \left[ \frac{1}{2}x^2 \ln x - \frac{1}{4}x^2 \right]_1^e \] \[ I = \left( \frac{1}{2}e^2 \ln e - \frac{1}{4}e^2 \right) - \left( \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \ln 1 - \frac{1}{4} \cdot 1 \right) \] \[ I = \frac{e^2 + 1}{4} \] Donc : \( I = \frac{e^2 + 1}{4} \)
🔖 Valeur moyenne
Soit \( f \) une fonction continue sur un intervalle \( I \). Soit \( a \) et \( b \) deux éléments de \( I \) tels que \( a < b \).
📌 Le nombre réel \( m = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) \, dx \) est appelé la valeur moyenne de \( f \) sur \([a, b]\).
📌 Il existe un réel \( c \) appartenant à \([a, b]\) tel que :
\[
f(c) = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) \, dx
\]
🔖 Calcul d'aires
📌 Propriété 1
Soit \( f \) une fonction définie et continue sur un intervalle \([a, b]\). Soit \( \mathcal{C}_f \) sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthogonal \( (O, \vec{i}, \vec{j}) \).
📌 L'aire de la partie du plan délimitée par la courbe \( \mathcal{C}_f \), l'axe des abscisses et les droites d'équations : \( x = a \) et \( x = b \). Est le nombre réel :
\[
S = \left( \int_a^b f(x) \, dx \right) u.a.
\]
📌 Propriété 2
Soit \( f \) et \( g \) deux fonctions continues sur un intervalle \([a, b]\). Et \( \mathcal{C}_f \) et \( \mathcal{C}_g \) sont les courbes représentatives de \( f \) et \( g \) dans le plan muni d'un repère orthogonal \( (O, \vec{i}, \vec{j}) \).
📌 L'aire de la partie du plan délimitée par les courbes \( \mathcal{C}_f \) et \( \mathcal{C}_g \), et les droites d'équations : \( x = a \) et \( x = b \). Est le nombre réel :
\[
S = \left( \int_a^b f(x) - g(x) \, dx \right) u.a.
\]
🔖 Calcul des volumes
L'espace est rapporté à un repère orthogonal \( (O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}) \).
Soit \( f \) une fonction continue sur un intervalle \([a, b]\).
📌 Le volume de solide de révolution engendré par la rotation de la courbe \( \mathcal{C}_f \) autour de l'axe des abscisses : Est :
\[
V = \int_a^b \pi \left( f(x) \right)^2 \, dx \, u.v.
\]
où \( u.a. \) est l'unité d'aire \( ( \vec{i} \times \vec{j} ) \) et \( u.v. \) est l'unité de volume \( ( \vec{i} \times \vec{j} \times \vec{k} ) \).
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