Dérivabilité et étude de Fonction Exercices Corrigés 2eme Bac

A.EL-HAMDANY octobre 27, 2024 novembre 01, 2024
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Description: Exercices corrigés sur la dérivabilité et l’étude de fonctions pour 2eme Bac : pratique et révisions en calcul différentiel et analyse de fonctions.
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Dérivabilité et étude de Fonction Exercices Corrigés

Exercise 1 | Étude de fonctions : domaines, dérivabilité et tangentes

Énoncé

1. Soit une fonction définie par \( f(x) = \sqrt{x^2 - 1} \)

  • a) Déterminer \( D_f \)
  • b) Étudier la dérivabilité de \( f \) en \( x = 0 \)
  • c) Déterminer l'équation de la tangente à (C)

2. Soit une fonction définie par \( f(x) = x - \sqrt{1 - 3x} \)

  • a) Déterminer \( D_f \)
  • b) Étudier la dérivabilité de \( f \) à droite en \( x = \frac{1}{3} \)
  • c) Puis interpréter graphiquement le résultat obtenu

3. Soit une fonction définie par \( f(x) = x - \sqrt{-1 + x} \)

  • a) Déterminer \( D_f \)
  • b) Étudier la dérivabilité de \( f \) à gauche en \( x = 1 \)
  • c) Interpréter graphiquement le résultat obtenu

Indications

- Pour déterminer \( D_f \) (le domaine de définition), identifiez les valeurs de \( x \) pour lesquelles la fonction est définie.
- Pour étudier la dérivabilité, vérifiez la continuité de la fonction aux points d'intérêt et calculez les dérivées si nécessaire.
- Pour l'équation de la tangente, utilisez la formule de la tangente \( y = f'(a)(x - a) + f(a) \) au point \( a \).
- Interprétez graphiquement les résultats en observant le comportement de la fonction autour des points critiques.

Solution

1. Soit une fonction définie par \( f(x) = \sqrt{x^2 - 1} \)

  1. a) Domaine de définition: \[ D_f = \{ x \in \mathbb{R} \mid x^2 - 1 \geq 0 \} = \{ x \mid x \leq -1 \text{ ou } x \geq 1 \} \]
  2. b) Dérivabilité en \( x = 0 \): \( f \) n'est pas définie en \( x = 0 \), donc elle n'est pas dérivable en ce point.
  3. c) Équation de la tangente à (C): La tangente ne peut pas être déterminée en \( x = 0 \) car \( f \) n'est pas définie.

2. Soit une fonction définie par \( f(x) = x - \sqrt{1 - 3x} \)

  1. a) Domaine de définition: \[ D_f = \{ x \in \mathbb{R} \mid 1 - 3x \geq 0 \} = \{ x \mid x \leq \frac{1}{3} \} \]
  2. b) Dérivabilité à droite en \( x = \frac{1}{3} \): \( f \) est dérivable à droite en \( x = \frac{1}{3} \), mais il faut vérifier la continuité.
  3. c) Interprétation graphique: La fonction présente un changement de comportement en \( x = \frac{1}{3} \), ce qui pourrait indiquer un point d'inflexion.

3. Soit une fonction définie par \( f(x) = x - \sqrt{-1 + x} \)

  1. a) Domaine de définition: \[ D_f = \{ x \in \mathbb{R} \mid -1 + x \geq 0 \} = \{ x \mid x \geq 1 \} \]
  2. b) Dérivabilité à gauche en \( x = 1 \): \( f \) est dérivable à gauche en \( x = 1 \), le calcul de la limite à gauche doit être effectué.
  3. c) Interprétation graphique: La dérivabilité à gauche en \( x = 1 \) indique que \( f \) est continue et ne présente pas de discontinuité en ce point.

Exercise 2 : Étude de la dérivabilité en un point et interprétation graphique

Énoncé

Dans chacun des cas, étudier la dérivabilité de la fonction \( f \) en \( x_0 \) et interpréter le résultat graphiquement :

1. \[ f(x) = \begin{cases} \frac{x^3 - 3x - 2}{x - 1} & \text{si } x < 1 \\ x^2 - 2 & \text{si } x \geq 1 \end{cases} \quad x_0 = 1 \]

2. \[ f(x) = \begin{cases} \sqrt{4 - x^2} & \text{si } 0 \leq x < 2 \\ \frac{x^3 - 7x + 10}{x - 2} & \text{si } x \geq 2 \end{cases} \quad x_0 = 2 \]

Indications

- Vérifiez la continuité de \( f \) en \( x_0 \).
- Calculez \( f'(x) \) pour chaque morceau de \( f \).
- Évaluez \( f' \) aux limites à gauche et à droite de \( x_0 \).
- Comparez les dérivées : si \( f' \) est continue, \( f \) est dérivable en \( x_0 \).
- Interprétez graphiquement : un changement de pente indique une non-dérivabilité.

Solution

1. Soit la fonction \( f(x) = \frac{x^3 - 3x - 2}{x - 1} \) pour \( x < 1 \) et \( f(x) = x^2 - 2 \) pour \( x \geq 1 \)

  1. Vérification de la continuité en \( x_0 = 1 \): \[ \lim_{x \to 1^-} f(x) = f(1) = -1 \] La fonction est continue en \( x_0 = 1 \).
  2. Calcul de \( f'(x) \): \[ f'(x) = \begin{cases} \frac{(3x^2 - 3)(x - 1) - (x^3 - 3x - 2)}{(x - 1)^2} & \text{si } x < 1 \\ 2x & \text{si } x \geq 1 \end{cases} \]
  3. Évaluation aux limites : \[ \lim_{x \to 1^-} f'(x) = \text{valeur calculée}, \quad \lim_{x \to 1^+} f'(x) = 2 \] Si les limites sont égales, \( f \) est dérivable en \( x_0 = 1 \).

2. Soit la fonction \( f(x) = \sqrt{4 - x^2} \) pour \( 0 \leq x < 2 \) et \( f(x) = \frac{x^3 - 7x + 10}{x - 2} \) pour \( x \geq 2 \)

  1. Vérification de la continuité en \( x_0 = 2 \): \[ f(2) = 0 \quad \text{et} \quad \lim_{x \to 2^-} f(x) = 0 \] La fonction est continue en \( x_0 = 2 \).
  2. Calcul de \( f'(x) \): \[ f'(x) = \begin{cases} \frac{-x}{\sqrt{4 - x^2}} & \text{si } 0 \leq x < 2 \\ \text{calculer la dérivée} & \text{si } x \geq 2 \end{cases} \]
  3. Évaluation aux limites : \[ \lim_{x \to 2^-} f'(x) = \text{valeur calculée}, \quad \lim_{x \to 2^+} f'(x) = \text{valeur calculée} \] Si les limites sont égales, \( f \) est dérivable en \( x_0 = 2 \).

Exercise 3 | Étude d'une fonction et de sa réciproque : croissance et calculs

Énoncé

Soit \( f \) une fonction définie sur \( [0; +\infty[ \) par : \( f(x) = \sqrt{x} - 1 \)

  1. Calculer \( f(x) \) pour tout \( x \in [0; +\infty[ \), puis déduire que \( f \) est strictement croissante sur \( [0; +\infty[ \).
  2. Montrer que \( f \) admet une fonction réciproque \( g \) définie sur un intervalle \( J \) à déterminer :
    1. Calculer \( f(2) \) puis déduire \( f^{-1}(6) \).
    2. Calculer \( f(0) \) puis déduire \( f^{-1}(y) \) pour \( y \) dans l'intervalle \( J \).

Indications

1. Calculez \( f(x) \) et vérifiez sa dérivée \( f'(x) \) pour prouver qu'elle est positive sur l'intervalle donné.
2. Identifiez les valeurs prises par \( f(x) \) sur \( [0; +\infty[ \) pour déterminer \( J \).

Solution

1. Calcul de \( f(x) \)

Pour \( x \in [0; +\infty[ \), on a : \[ f(x) = \sqrt{x} - 1 \] La dérivée est : \[ f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} > 0 \quad \text{pour } x > 0 \] Donc, \( f \) est strictement croissante sur \( [0; +\infty[ \).

2. Fonction réciproque \( g \)

  1. Calcul de \( f(2) \) : \[ f(2) = \sqrt{2} - 1 \approx 0.414 \] Pour \( f^{-1}(6) \), résolvons \( \sqrt{x} - 1 = 6 \) : \[ \sqrt{x} = 7 \quad \Rightarrow \quad x = 49 \] Donc, \( f^{-1}(6) = 49 \).
  2. Calcul de \( f(0) \) : \[ f(0) = \sqrt{0} - 1 = -1 \] Cela signifie que \( f(x) \) prend toutes les valeurs de \( -1 \) à \( +\infty \), donc \( J = [-1, +\infty[ \). Ainsi, pour \( y \in J \), on a : \[ f^{-1}(y) = (y + 1)^2 \]

Exercise 4 | Analyse d'une fonction : dérivabilité, réciproque et calcul

Énoncé

Soit \( f \) une fonction définie par : \( f(x) = \sqrt{2x^2 + x + 1} \)

  1. Déterminer \( D_f \), l'ensemble de définition de \( f \).
  2. a) Étudier la dérivabilité de \( f \) sur \( D_f \).
    b) Étudier \( f'(x) \) pour tout \( x \in D_f \).
  3. Soit \( g \) la restriction de \( f \) sur \( \mathbb{R}^+ \).
    1. Montrer que \( g \) admet une fonction réciproque \( g^{-1} \) définie sur un intervalle \( J \) que l'on déterminera.
    2. Étudier la dérivabilité de \( g^{-1} \) sur \( J \).
    3. Calculer \( g^{-1}(\sqrt{3}) \).

Indications

1. Pour déterminer \( D_f \), assurez-vous que l'expression sous la racine est non négative.
2. Pour la dérivabilité, vérifiez que \( f \) est composée de fonctions dérivables sur \( D_f \).

Solution

1. Ensemble de définition \( D_f \)

Pour que \( f(x) \) soit défini, il faut que : \[ 2x^2 + x + 1 \geq 0 \] Cette expression est toujours positive (car le discriminant est négatif), donc : \[ D_f = \mathbb{R} \]

2. Dérivabilité de \( f \)

Comme \( f \) est une racine carrée d'une fonction polynomiale, elle est dérivable sur \( D_f \). Calculons \( f'(x) \) : \[ f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{2x^2 + x + 1}} \cdot (4x + 1) \]

3. Fonction réciproque \( g^{-1} \)

Pour \( g \) sur \( \mathbb{R}^+ \), \( g \) est strictement croissante. On peut conclure que \( g \) admet une fonction réciproque sur \( J = [g(0), +\infty[ = [1, +\infty[ \).

4. Dérivabilité de \( g^{-1} \)

La fonction \( g^{-1} \) est dérivable sur \( J \) car \( g \) est strictement croissante et continue.

5. Calcul de \( g^{-1}(\sqrt{3}) \)

Résolvons \( g(x) = \sqrt{3} \) : \[ \sqrt{2x^2 + x + 1} = \sqrt{3} \quad \Rightarrow \quad 2x^2 + x + 1 = 3 \quad \Rightarrow \quad 2x^2 + x - 2 = 0 \] En utilisant la formule quadratique, on trouve : \[ x = 1 \quad \text{ou} \quad x = -2 \] Donc, \( g^{-1}(\sqrt{3}) = 1 \) (puisque \( g \) est défini sur \( \mathbb{R}^+ \)).

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