Introduction au théorème de Thalès : l'essentiel à savoir
Le théorème de Thalès est un pilier fondamental de la géométrie, utilisé quotidiennement dans de nombreux domaines comme l'architecture, l'ingénierie et le design. Il permet de calculer des longueurs inaccessibles et de prouver le parallélisme entre deux droites.
Le théorème direct de Thalès expliqué simplement
📐 L'énoncé du théorème de Thalès
Dans un triangle, si une droite est parallèle à un côté, alors elle détermine sur les deux autres côtés des segments proportionnels.
En termes mathématiques, si les points A, B et M d'une part, et A, C et N d'autre part sont alignés, et si les droites (BC) et (MN) sont parallèles, alors :
\[ \frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC} \]
🔍 Remarque : Les différentes configurations possibles
Applications pratiques avec exemples concrets
Exemple résolu pas à pas
Problème courant : Calculer une distance inaccessible
Données :
- AM = 25 mm
- AB = 45 mm
- AN = 20 mm
- BC = 27 mm
- On identifie les rapports égaux : \[ \frac{25}{45} = \frac{20}{AC} = \frac{MN}{27} \]
- Pour trouver AC : \[ AC = \frac{45 \times 20}{25} = 36 \text{ mm} \]
- Pour trouver MN : \[ MN = \frac{25 \times 27}{45} = 15 \text{ mm} \]
La réciproque du théorème de Thalès : démontrer le parallélisme
Démontrer que deux droites ne sont pas parallèles
Si les points A, B et M d'une part, et A, C et N d'autre part sont alignés, et si
\[ \frac{AM}{AB} \neq \frac{AN}{AC} \]
alors les droites (BC) et (MN) ne sont pas parallèles.
Dans cette figure qui n'est pas en vraie grandeur :
- AN = 11 cm
- AM = 8 cm
- AC = 15 cm
- AB = 10 cm
On calcule séparément les rapports :
\[ \frac{AM}{AB} = \frac{8}{10} = \frac{24}{30} \]
\[ \frac{AN}{AC} = \frac{11}{15} = \frac{22}{30} \]
On constate que \[ \frac{AM}{AB} \neq \frac{AN}{AC} \]
Or, si les droites (BC) et (MN) étaient parallèles, d'après le théorème de Thalès, il y aurait égalité.
Comme ce n'est pas le cas, les droites (BC) et (MN) ne sont pas parallèles.
Théorème réciproque du de Thalès
Si les points A, B et M d'une part, et A, C et N d'autre part sont alignés dans le même ordre, et si
\[ \frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} \]
alors les droites (BC) et (MN) sont parallèles.
Remarque
Attention, il ne suffit pas de vérifier l'égalité des rapports. Il faut aussi s'assurer que les points sont placés dans le bon ordre.
Démontrer que deux droites sont parallèles
Dans cette figure :
- AM = 3 cm
- AB = 4 cm
- AC = 7,2 cm
- AN = 5,4 cm
On calcule séparément les rapports :
\[ \frac{AM}{AB} = \frac{3}{4} \]
\[ \frac{AN}{AC} = \frac{5,4}{7,2} = \frac{54}{72} = \frac{18 \times 3}{18 \times 4} = \frac{3}{4} \]
On constate que \[ \frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} \]
Donc, d'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (BC) et (MN) sont parallèles.
Questions fréquentes sur le théorème de Thalès
Dans quels cas utilise-t-on le théorème de Thalès ?
Le théorème de Thalès est utilisé pour :
- Calculer des longueurs inaccessibles
- Prouver le parallélisme de deux droites
- Résoudre des problèmes de proportionnalité en géométrie
Quelle est la différence entre le théorème direct et sa réciproque ?
Le théorème direct part du parallélisme pour prouver l'égalité des rapports, tandis que la réciproque part de l'égalité des rapports pour prouver le parallélisme.
Enregistrer un commentaire
regle de system commentaires:
Chacun doit respecter les commentaires et les opinions des autres.
Évitez d'utiliser des mots offensants ou de diffamer les autres.