Théorème de Thalès : Cours de 3ème AC | Explication Simple et Complète

Théorème de Thalès : Explication Simple et Complète | Cours de 3AC

Introduction au théorème de Thalès : l'essentiel à savoir

Le théorème de Thalès est un pilier fondamental de la géométrie, utilisé quotidiennement dans de nombreux domaines comme l'architecture, l'ingénierie et le design. Il permet de calculer des longueurs inaccessibles et de prouver le parallélisme entre deux droites.

Le théorème direct de Thalès expliqué simplement

📐 L'énoncé du théorème de Thalès

Dans un triangle, si une droite est parallèle à un côté, alors elle détermine sur les deux autres côtés des segments proportionnels.

En termes mathématiques, si les points A, B et M d'une part, et A, C et N d'autre part sont alignés, et si les droites (BC) et (MN) sont parallèles, alors :

\[ \frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC} \]

🔍 Remarque : Les différentes configurations possibles

  • Il existe trois configurations principales : triangles, papillon, et triangle inversé
  • Les points doivent être alignés dans le même ordre
  • Les rapports sont toujours égaux quand les droites sont parallèles
  • Applications pratiques avec exemples concrets

    Exemple résolu pas à pas

    Problème courant : Calculer une distance inaccessible

    Données :

    • AM = 25 mm
    • AB = 45 mm
    • AN = 20 mm
    • BC = 27 mm
    Méthode de résolution :
    1. On identifie les rapports égaux : \[ \frac{25}{45} = \frac{20}{AC} = \frac{MN}{27} \]
    2. Pour trouver AC : \[ AC = \frac{45 \times 20}{25} = 36 \text{ mm} \]
    3. Pour trouver MN : \[ MN = \frac{25 \times 27}{45} = 15 \text{ mm} \]

    La réciproque du théorème de Thalès : démontrer le parallélisme

    Démontrer que deux droites ne sont pas parallèles

    Si les points A, B et M d'une part, et A, C et N d'autre part sont alignés, et si

    \[ \frac{AM}{AB} \neq \frac{AN}{AC} \]

    alors les droites (BC) et (MN) ne sont pas parallèles.

    Dans cette figure qui n'est pas en vraie grandeur :

    • AN = 11 cm
    • AM = 8 cm
    • AC = 15 cm
    • AB = 10 cm

    On calcule séparément les rapports :

    \[ \frac{AM}{AB} = \frac{8}{10} = \frac{24}{30} \]

    \[ \frac{AN}{AC} = \frac{11}{15} = \frac{22}{30} \]

    On constate que \[ \frac{AM}{AB} \neq \frac{AN}{AC} \]

    Or, si les droites (BC) et (MN) étaient parallèles, d'après le théorème de Thalès, il y aurait égalité.

    Comme ce n'est pas le cas, les droites (BC) et (MN) ne sont pas parallèles.

    Théorème réciproque du de Thalès

    Si les points A, B et M d'une part, et A, C et N d'autre part sont alignés dans le même ordre, et si

    \[ \frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} \]

    alors les droites (BC) et (MN) sont parallèles.

    Remarque

    Attention, il ne suffit pas de vérifier l'égalité des rapports. Il faut aussi s'assurer que les points sont placés dans le bon ordre.

    Démontrer que deux droites sont parallèles

    Dans cette figure :

    • AM = 3 cm
    • AB = 4 cm
    • AC = 7,2 cm
    • AN = 5,4 cm

    On calcule séparément les rapports :

    \[ \frac{AM}{AB} = \frac{3}{4} \]

    \[ \frac{AN}{AC} = \frac{5,4}{7,2} = \frac{54}{72} = \frac{18 \times 3}{18 \times 4} = \frac{3}{4} \]

    On constate que \[ \frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} \]

    Donc, d'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (BC) et (MN) sont parallèles.

    Questions fréquentes sur le théorème de Thalès

    Dans quels cas utilise-t-on le théorème de Thalès ?

    Le théorème de Thalès est utilisé pour :

    • Calculer des longueurs inaccessibles
    • Prouver le parallélisme de deux droites
    • Résoudre des problèmes de proportionnalité en géométrie
    Quelle est la différence entre le théorème direct et sa réciproque ?

    Le théorème direct part du parallélisme pour prouver l'égalité des rapports, tandis que la réciproque part de l'égalité des rapports pour prouver le parallélisme.

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