LeXMath

La formule de Taylor est un outil fondamental en analyse mathématique, qui permet d'approximer une fonction différentiable par un polynôme. Elle est utilisée dans de nombreux domaines, tels que la résolution d'équations différentielles, l'analyse numérique et les calculs asymptotiques. Ce cours explore en détail la définition, les applications et les propriétés liées à cette formule, en insistant sur les dérivées d'ordre supérieur, les extrema relatifs et la convexité des fonctions. Dérivées d'ordre supérieur Les dérivées d'ordre supérieur généralisent la notion de dérivée première. Elles permettent d'étudier les variations successives d'une fonction et de modéliser des phénomènes complexes, notamment en physique et en ingénierie. Dérivée première (\( f'(x) \)) La dérivée première d'une fonction \( f(x) \) mesure la variatio...

Définition de la dérivée La dérivée d'une fonction \( f \) en un point \( a \) est définie comme la limite du taux de variation de \( f \) entre \( a \) et un point voisin \( a + h \), lorsque \( h \) tend vers zéro : \[ f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} \] Cette limite, si elle existe, représente la pente de la tangente à la courbe de \( f \) au point \( (a, f(a)) \). Dérivée à gauche et à droite Pour analyser la continuité et la régularité locale d'une fonction, on introduit les dérivées latérales : Dérivée à gauche : \[ f'_g(a) = \lim_{h \to 0^-} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} \] Dérivée à droite : \[ f'_d(a) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} \] La fonction \( f \) est dérivable en \( a \) si et seulement si \(...

🔍 Introduction aux notions fondamentales Comprendre les limites et la continuité des fonctions est une étape cruciale dans l'apprentissage de l’analyse. Ces concepts permettent de décrire avec précision le comportement d'une fonction autour d’un point ou sur un intervalle. 📌 Limite d’une fonction : Définition et caractérisation 👉 Qu’est-ce qu’une limite ? La limite d’une fonction en un point exprime la tendance de ses valeurs lorsque la variable se rapproche de ce point, sans nécessairement l’atteindre : \[\lim_{x \to a} f(x) = L\] 🔎 Caractérisation séquentielle de la limite Soit une suite \( (x_n) \) telle que \( \lim x_n = a \). Si \( \lim f(x_n) = L \), alors la limite de la fonction est donnée par : \[\lim_{x \to a} f(x) = L\] 📘 Exemple La fonction \( f(x) = \frac{\sin x}{x} \) n'est pas définie en \( x = 0 \), mais on peut démontrer que : \[\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\] ➕ Opérations sur les limites Somme : \( \lim_{x \to a} [f(x)...

Qu'est-ce que les nombres réels ? Les nombres réels , notés \( \mathbb{R} \), représentent l’ensemble le plus vaste des nombres utilisés en mathématiques. Ils englobent tous les points sur une droite numérique continue et comprennent : Les nombres entiers \( \mathbb{Z} \) : positifs, négatifs et zéro. Les nombres rationnels \( \mathbb{Q} \) : de la forme \( \frac{a}{b} \) avec \( a, b \in \mathbb{Z} \) et \( b \ne 0 \). Les nombres irrationnels : comme \( \pi \), \( \sqrt{2} \), et \( e \). Contrairement aux rationnels, les réels forment un ensemble continu sur la droite numérique, ce qui permet une modélisation complète des phénomènes quantitatifs. Notions de majorant, minorant et bornes Définitions de majorant et minorant Un majorant d’un ensemble \( A \subset \mathbb{R} \) est un nombre \( M \in \mathbb{R} \) tel que : \[ \forall x \in A, \ x \leq M \] Un minorant est un nombre \( m \in \mathbb{R} \) tel que : \[ \forall x \in A, \ x \geq m \] ...

Exercice 1 : Calcul de la longueur de \( AB \) Enoncé On considère un triangle rectangle \( ABC \) en \( C \) tel que : \( AC = 2 \sqrt{5} \) \( BC = 4 \) Calculer la longueur de \( AB \). Indications ▼ Utilisez le théorème de Pythagore qui relie les côtés d'un triangle rectangle. Corrigé ▼ Pour calculer \( AB \), on utilise le théorème de Pythagore, qui nous dit que : \[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \] En remplaçant les valeurs connues : \[ AB^2 = (2 \sqrt{5})^2 + 4^2 \] Calculons chaque terme : \( (2 \sqrt{5})^2 = 4 \times 5 = 20 \) \( 4^2 = 16 \) Donc : \[ AB^2 = 20 + 16 = 36 \] En prenant la racine carrée de cha...

Exercice 1 : Calculez des puissances et expressions avec racines Enoncé Calculer : \( 7^3 \) \( 5^4 \) \( \left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)^3 \) \( \left(\frac{3}{7}\right)^{-4} \) \( 5^{-4} \) \( (2\sqrt{3})^{-1} \) \( \sqrt[3]{5} \times \sqrt[3]{9} \) \( ((\sqrt{2022} - 7) - 2)^{21} \) \( \left(\frac{3}{\sqrt{5}}\right)^6 \) \( \left(\frac{5}{4}\right)^{-1} \) Indications ▼ Pour les puissances simples comme \( 7^3 \) et \( 5^4 \), élever directement le nombre à la puissance donnée. Pour les fractions avec racines, comme \( \left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)^3 \), appliquer la propriété de puissance sur les numérateurs et les dénominateurs. Pour une puissance négative, comme \( \left(\frac{3}{7}\right)^{-4} \), prendre l'inverse de la fraction et appliquer la puissance positive. Pour \( \sqrt[3]{5} \times \sqrt[3]{9} \), convertir en notation exponentielle (racines en pu...

Exercice 1 : Calcul Littéral Énoncé Soit \( x \) un réel donné et on pose : \( A = x^2 - 4 + (x - 2)(x - 1) \). Développer et réduire le nombre \( A \). En déduire la valeur du réel \( B = 1000^2 + 998 \times 999 - 4 \). Factoriser l'expression \( 2x^2 - 3x - 2 \). Indications ▼ Utiliser les propriétés de développement et de simplification pour obtenir une forme simplifiée de \( A \). Pour le calcul de \( B \), remplacer \( x \) par les valeurs indiquées. Solution ▼ 1. Développement et réduction de \( A \) On a : \( A = x^2 - 4 + (x - 2)(x - 1) \) \( A = x^2 - 4 + (x^2 - x - 2x + 2) \) \( A = x^2 - 4 + x^2 - 3x + 2 \) \( A = 2x^2 - 3x - 2 \). 2. Calcul de \( B \) En posant \( x = 1000 \), on obtient : \( B = 1000^2 + 998 \times 999 - 4 \) \( B = 100000...