Calcul Littéral : Développement et factorisation Exercices Corrigés

Exercice 1 : Calcul Littéral

Énoncé

Soit \( x \) un réel donné et on pose : \( A = x^2 - 4 + (x - 2)(x - 1) \).

1. Développer et réduire le nombre \( A \).
2. En déduire la valeur du réel \( B = 1000^2 + 998 \times 999 - 4 \).
3. Factoriser l'expression \( 2x^2 - 3x - 2 \).

Indications

▼

Utiliser les propriétés de développement et de simplification pour obtenir une forme simplifiée de \( A \). Pour le calcul de \( B \), remplacer \( x \) par les valeurs indiquées.

Solution

▼

1. Développement et réduction de \( A \)

On a :
\( A = x^2 - 4 + (x - 2)(x - 1) \)
\( A = x^2 - 4 + (x^2 - x - 2x + 2) \)
\( A = x^2 - 4 + x^2 - 3x + 2 \)
\( A = 2x^2 - 3x - 2 \).

2. Calcul de \( B \)

En posant \( x = 1000 \), on obtient :
\( B = 1000^2 + 998 \times 999 - 4 \)
\( B = 1000000 + 998000 - 4 = 1997996 \).

3. Factorisation de \( 2x^2 - 3x - 2 \) :
On cherche deux nombres dont le produit est \( -4 \) et la somme est \( -3 \). Ces nombres sont \( -4 \) et \( 1 \).
Donc, \( 2x^2 - 3x - 2 = (2x + 1)(x - 2) \).

Exercice 2 : Calcul Littéral

Énoncé

Développer les deux expressions :

1. \( A = (1 - 2x)^2 \) et \( B = (2x - 1)(3 - x) \)
2. Donner l'écriture développée et réduite de \( E = (1 - 2x)^2 + (2x - 1)(3 - x) - 4x^2 + 1 \).
3. En déduire une factorisation de l'expression \( C = -2x^2 + 3x + 1 + 5x(x - 1) \).

Indications

▼

Utiliser les formules de développement pour les carrés et les produits pour obtenir une forme simplifiée des expressions.

Solution

▼

1. Développement de \( A = (1 - 2x)^2 \) :
En utilisant l'identité remarquable \( (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \) :
\( A = (1 - 2x)^2 = 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 2x + (2x)^2 \)
\( = 1 - 4x + 4x^2 \).

2. Développement de \( B = (2x - 1)(3 - x) \) :
Appliquer la distributivité :
\( B = 2x \cdot 3 - 2x \cdot x - 1 \cdot 3 + 1 \cdot x \)
\( = 6x - 2x^2 - 3 + x \)
\( = -2x^2 + 7x - 3 \).

3. Développement et réduction de \( E = (1 - 2x)^2 + (2x - 1)(3 - x) - 4x^2 + 1 \) :
En utilisant les résultats précédents :
\( E = (1 - 4x + 4x^2) + (-2x^2 + 7x - 3) - 4x^2 + 1 \)
Regrouper les termes semblables :
\( = (4x^2 - 2x^2 - 4x^2) + (-4x + 7x) + (1 - 3 + 1) \)
\( = -2x^2 + 3x - 1 \).

4. Factorisation de \( C = -2x^2 + 3x - 1 + 5x(x - 1) \) :
Développons le terme \( 5x(x - 1) \) :
\( C = -2x^2 + 3x - 1 + 5x^2 - 5x \)
Regrouper les termes semblables :
\( = (-2x^2 + 5x^2) + (3x - 5x) - 1 \)
\( = 3x^2 - 2x - 1 \).

Exercice 3 : Calcul Littéral

Énoncé

Soit \( x \) un réel donné et on pose :

\( A = 3x^2 + 3x - 18 \)

\( B = (x - 3)^2 - 1 \)

1. Factoriser l'expression \( B \).
2. Calculer \( B - \frac{1}{3} A \) puis factoriser \( A \).
3. Factoriser \( x^4 + x^2 - 6 \).

Indications

▼

Utiliser les formules de factorisation pour les différences de carrés et chercher à exprimer les polynômes sous forme de produits de facteurs.

Solution

▼

1. Factoriser l'expression \( B \).

Pour \( B = (x - 3)^2 - 1 \), nous reconnaissons qu'il s'agit d'une différence de carrés :

\( B = (x - 3)^2 - 1^2 = ((x - 3) - 1)((x - 3) + 1) \)

En simplifiant, nous obtenons :

\( B = (x - 4)(x - 2) \)

2. Calculer \( B - \frac{1}{3} A \) puis factoriser \( A \).

Commençons par calculer \( \frac{1}{3} A \) :

\( A = 3x^2 + 3x - 18 \)

Donc, \( \frac{1}{3} A = \frac{1}{3}(3x^2 + 3x - 18) = x^2 + x - 6 \)

Nous devons maintenant calculer \( B - \frac{1}{3} A \) :

\( B - \frac{1}{3} A = (x - 4)(x - 2) - (x^2 + x - 6) \)

Développons \( B \) :

\( B = (x^2 - 6x + 8) \)

Maintenant, nous faisons le calcul :

\( B - \frac{1}{3} A = (x^2 - 6x + 8) - (x^2 + x - 6) = -7x + 14 \)

Factorisons :

\( B - \frac{1}{3} A = -7(x - 2) \)

Ensuite, pour factoriser \( A \) :

\( A = 3x^2 + 3x - 18 = 3(x^2 + x - 6) \)

En factorisant l'expression \( x^2 + x - 6 \), on trouve :

\( x^2 + x - 6 = (x - 2)(x + 3) \)

Donc :

\( A = 3(x - 2)(x + 3) \)

3. Factoriser \( x^4 + x^2 - 6 \).

Posons \( y = x^2 \), ce qui nous donne :

\( x^4 + x^2 - 6 = y^2 + y - 6 \)

Nous cherchons à factoriser cette expression. Trouvons les racines de l'équation \( y^2 + y - 6 = 0 \) en utilisant la formule quadratique :

\( y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2} = \frac{-1 \pm 5}{2} \)

Cela nous donne les racines :

\( y_1 = 2 \quad \text{et} \quad y_2 = -3 \)

Nous pouvons donc factoriser :

\( y^2 + y - 6 = (y - 2)(y + 3) \)

En revenant à \( x \) :

\( x^4 + x^2 - 6 = (x^2 - 2)(x^2 + 3) \)

Exercice 4 : Simplification des Expressions

Énoncé

 Exprimer aussi simplement que possible les nombres suivants :

1. \( A = (2x - 1)(-x + 2) - 3(x^2 + 4) - (x + 1)(x - 2) \)
2. \( B = \left( -\frac{5}{3} x - 3 \right)(x + 1) + x \left( \frac{1}{2} x - 1 \right) - \left( \frac{5x - 1}{2} \right) \)
3. \( C = x - 2 \left( 4 - x^2 \right) + \left( \frac{3}{4} x + \frac{3}{8} \right) \left( - x + 2 \right) \)
4. \( D = \left( x^2 - 3x \right) (x + 1) + 4x^3 - 1 - \left( x + 5 \right) (x + 2) \)
5. \( E = (3x - 5)(5 + x) - 2(x - 1)^2 \)
6. \( F = 2(2 - x)^2 + 3(x^3 - x^2 - x) (2x + 1) (2x + 1) \)

Indications

▼

Utiliser les identités remarquables et simplifier chaque expression en développant puis en regroupant les termes semblables.

Solution

▼

1. Calculer \( A \)

Développons \( A \) :

\( A = (2x - 1)(-x + 2) - 3(x^2 + 4) - (x + 1)(x - 2) \)

\( A = (-2x^2 + 4x + x - 2) - (3x^2 + 12) - (x^2 - x - 2) \)

\( A = -2x^2 + 4x + x - 2 - 3x^2 - 12 - x^2 + x + 2 \)

\( A = -6x^2 + 6x - 12 \)

En factorisant :

\( A = -6(x^2 - x + 2) \)

2. Calculer \( B \)

Développons \( B \) :

\( B = \left( -\frac{5}{3} x - 3 \right)(x + 1) + x \left( \frac{1}{2} x - 1 \right) - \left( \frac{5x - 1}{2} \right) \)

\( B = -\frac{5}{3} x^2 - \frac{5}{3} x - 3x - 3 + \frac{1}{2} x^2 - x - \frac{5x}{2} + \frac{1}{2} \)

\( B = -\frac{5}{3} x^2 + \frac{1}{2} x^2 - \frac{5}{3} x - 3x - \frac{5x}{2} - 3 + \frac{1}{2} \)

\( B = \left(-\frac{15}{6} + \frac{3}{6}\right)x^2 + \left(-\frac{5}{3} - 3 - \frac{5}{2}\right)x - \frac{5}{2} \)

En simplifiant :

\( B = -\frac{12}{6}x^2 - \frac{29}{6}x - \frac{5}{2} \)

3. Calculer \( C \)

Développons \( C \) :

\( C = x - 2(4 - x^2) + \left( \frac{3}{4} x + \frac{3}{8} \right)(-x + 2) \)

\( C = x - 8 + 2x^2 - \left( \frac{3}{4} x^2 - \frac{3}{2} x + \frac{3}{8} \right) \)

\( C = x + 2x^2 - 8 + \frac{3}{4} x^2 - \frac{3}{2} x - \frac{3}{8} \)

\( C = \left(2 + \frac{3}{4}\right)x^2 + \left(1 - \frac{3}{2}\right)x - 8 - \frac{3}{8} \)

En simplifiant :

\( C = \frac{11}{4}x^2 - \frac{1}{2}x - \frac{67}{8} \)

4. Calculer \( D \)

Développons \( D \) :

\( D = (x^2 - 3x)(x + 1) + 4x^3 - 1 - (x + 5)(x + 2) \)

\( D = x^3 - 3x^2 + x^2 - 3x + 4x^3 - 1 - (x^2 + 7x + 10) \)

\( D = 5x^3 - 3x^2 - 10 \)

5. Calculer \( E \)

Développons \( E \) :

\( E = (3x - 5)(5 + x) - 2(x - 1)^2 \)

\( E = 15x + 3x^2 - 25 - 2(x^2 - 2x + 1) \)

\( E = 3x^2 + 15x - 25 - 2x^2 + 4x - 2 \)

\( E = x^2 + 19x - 27 \)

6. Calculer \( F \)

Développons \( F \) :

\( F = 2(2 - x)^2 + 3(x^3 - x^2 - x)(2x + 1)^2 \)

\( F = 2(4 - 4x + x^2) + 3(x^3 - x^2 - x)(4x^2 + 4x + 1) \)

\( F = 8 - 8x + 2x^2 + 3(x^3 - x^2 - x)(4x^2 + 4x + 1) \)

Exercice 5 : Factorisation des Expressions

Énoncé

Factoriser chacune des expressions suivantes :

1. \( A = 4x (x - 2) - 5(x - 2) + x^3 - 2x^2 \)
2. \( B = 3x^2 + 7x + 2x^2 y + y \left( x + 7 \right) (7 + 2x) \)
3. \( C = 9x (6 - x) - 13(x + 6) - x^2 (6 - x) \)
4. \( D = -2x (x + 3) + 11 (3 + x) \)
5. \( E = - (4x + 3) (x - 1) - (1 - x) (1 + x) \)

Indications

▼

Utiliser les propriétés de factorisation pour simplifier chaque expression, telles que la mise en évidence, les identités remarquables et la factorisation par regroupement des termes.

Solution

▼

1. Factoriser \( A \)

Développons \( A \) :

\( A = 4x (x - 2) - 5(x - 2) + x^3 - 2x^2 \)

\( A = (4x - 5)(x - 2) + x^3 - 2x^2 \)

\( A = (4x - 5)(x - 2) + x^2(x - 2) \)

\( A = (x - 2)(4x - 5 + x^2) \)

Finalement :

\( A = (x - 2)(x^2 + 4x - 5) \)

2. Factoriser \( B \)

Développons \( B \) :

\( B = 3x^2 + 7x + 2x^2 y + y(x + 7)(7 + 2x) \)

\( B = (3 + 2y)x^2 + (7 + 7y)x + 7y \)

En factorisant :

\( B = (3 + 2y)(x^2 + \frac{7 + 7y}{3 + 2y}) \)

3. Factoriser \( C \)

Développons \( C \) :

\( C = 9x(6 - x) - 13(x + 6) - x^2(6 - x) \)

\( C = (9x - x^2)(6 - x) - 13x - 78 \)

En factorisant :

\( C = (6 - x)(9x - x^2 - 13x - 78) \)

\( C = (6 - x)(-x^2 - 4x - 78) \)

4. Factoriser \( D \)

Développons \( D \) :

\( D = -2x(x + 3) + 11(3 + x) \)

\( D = -2x^2 - 6x + 33 + 11x \)

En factorisant :

\( D = -2x^2 + 5x + 33 \)

5. Factoriser \( E \)

Développons \( E \) :

\( E = -(4x + 3)(x - 1) - (1 - x)(1 + x) \)

\( E = -(4x^2 - 4x + 3) - (1 - x^2) \)

\( E = -4x^2 + 4x - 3 - 1 + x^2 \)

En simplifiant :

\( E = -3x^2 + 4x - 4 \)

Exercice 6 : Calcul de puissances

Énoncé

Calculer sans utiliser de calculatrice :

• \( A = 2020^2 \)
• \( B = 2023^2 + 2019^2 - 2022^2 \)

Indications

▼

Utiliser les identités remarquables pour simplifier le calcul, par exemple \( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \) et \( (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \).

Solution

▼

1. Calcul de \( A = 2020^2 \) :
En utilisant l'identité remarquable, on peut écrire :
\( A = 2020^2 = (2000 + 20)^2 \)
\( = 2000^2 + 2 \times 2000 \times 20 + 20^2 \)
\( = 4000000 + 80000 + 400 = 4080400 \).

2. Calcul de \( B = 2023^2 + 2019^2 - 2022^2 \) :
En décomposant chaque terme en utilisant les identités remarquables :
\( 2023^2 = (2020 + 3)^2 = 2020^2 + 2 \times 2020 \times 3 + 3^2 = 4080400 + 12120 + 9 = 4092529 \)
\( 2019^2 = (2020 - 1)^2 = 2020^2 - 2 \times 2020 \times 1 + 1^2 = 4080400 - 4040 + 1 = 4076361 \)
\( 2022^2 = (2020 + 2)^2 = 2020^2 + 2 \times 2020 \times 2 + 2^2 = 4080400 + 8080 + 4 = 4088484 \)
Donc,
\( B = 4092529 + 4076361 - 4088484 = 4080406 \).

Exercice 7 : Développement et factorisation

Énoncé

• Développer et réduire l'expression : \( P = (x + 12)(x + 2) \).
• Factoriser l'expression : \( Q = (x + 7)^2 - 25 \).
• Soit \( ABC \) un triangle rectangle en \( A \) tel que \( BC = x + 7 \) et \( AB = 5 \), où \( x \) désigne un nombre positif. Faire un schéma et montrer que \( AC^2 = x^2 + 14x + 24 \).

Indications

▼

Utiliser les identités remarquables pour développer et factoriser les expressions. Pour le triangle rectangle, appliquer le théorème de Pythagore.

Solution

▼

1. Développement et réduction de \( P = (x + 12)(x + 2) \) :
\( P = (x + 12)(x + 2) = x \cdot x + x \cdot 2 + 12 \cdot x + 12 \cdot 2 \)
\( = x^2 + 2x + 12x + 24 \)
\( = x^2 + 14x + 24 \).

2. Factorisation de \( Q = (x + 7)^2 - 25 \) :
Reconnaissons une différence de carrés :
\( Q = (x + 7)^2 - 5^2 \)
\( = (x + 7 - 5)(x + 7 + 5) \)
\( = (x + 2)(x + 12) \).

3. Calcul de \( AC^2 \) dans le triangle rectangle \( ABC \) :
Selon le théorème de Pythagore, dans un triangle rectangle \( ABC \) en \( A \), on a :
\( AC^2 = BC^2 - AB^2 \).
En remplaçant, on trouve :
\( AC^2 = (x + 7)^2 - 5^2 \)
\( = x^2 + 14x + 49 - 25 \)
\( = x^2 + 14x + 24 \).