Qu'est-ce que les nombres réels ?
Les nombres réels, notés \( \mathbb{R} \), représentent l’ensemble le plus vaste des nombres utilisés en mathématiques. Ils englobent tous les points sur une droite numérique continue et comprennent :
- Les nombres entiers \( \mathbb{Z} \) : positifs, négatifs et zéro.
- Les nombres rationnels \( \mathbb{Q} \) : de la forme \( \frac{a}{b} \) avec \( a, b \in \mathbb{Z} \) et \( b \ne 0 \).
- Les nombres irrationnels : comme \( \pi \), \( \sqrt{2} \), et \( e \).
Contrairement aux rationnels, les réels forment un ensemble continu sur la droite numérique, ce qui permet une modélisation complète des phénomènes quantitatifs.
Notions de majorant, minorant et bornes
Définitions de majorant et minorant
Un majorant d’un ensemble \( A \subset \mathbb{R} \) est un nombre \( M \in \mathbb{R} \) tel que : \[ \forall x \in A, \ x \leq M \]
Un minorant est un nombre \( m \in \mathbb{R} \) tel que : \[ \forall x \in A, \ x \geq m \]
Exemple : pour \( A = \{2, 4, 6, 8\} \) :
- 8, 9 et 10 sont des majorants, mais 8 est le plus petit, donc la borne supérieure.
- 0, 1 et 2 sont des minorants, mais 2 est le plus grand, donc la borne inférieure.
Borne supérieure et inférieure
La borne supérieure d’un ensemble \( A \), notée \( \sup(A) \), est le plus petit de ses majorants (s’il existe).
La borne inférieure, notée \( \inf(A) \), est le plus grand de ses minorants.
Exemple : pour \( B = [0, 5[ \) :
- \( \sup(B) = 5 \) même si 5 n’appartient pas à l’ensemble.
- \( \inf(B) = 0 \).
Propriétés fondamentales des bornes dans \( \mathbb{R} \)
Existence des bornes
L’ensemble \( \mathbb{R} \) est dit complet. Cela signifie que :
- Tout ensemble non vide et majoré admet une borne supérieure.
- Tout ensemble non vide et minoré admet une borne inférieure.
Cette propriété est à la base de nombreuses notions en analyse, comme les limites ou la continuité.
Caractéristiques des bornes
- Unicité : chaque ensemble a une seule borne supérieure et une seule borne inférieure.
- Approximation : on peut toujours trouver des éléments de l’ensemble aussi proches que souhaité de ces bornes.
La propriété d'Archimède
Cette propriété essentielle des réels stipule que :
- Pour tout \( x \in \mathbb{R} \), il existe un entier naturel \( n \in \mathbb{N} \) tel que \( n > x \).
- Pour tout \( \epsilon > 0 \), il existe un \( n \in \mathbb{N} \) tel que \( \frac{1}{n} < \epsilon \).
Exemple : si \( x = 1000 \), alors des entiers comme 1001, 1002, etc., vérifient la propriété.
La partie entière d’un nombre réel
La partie entière d’un réel \( x \), notée \( \lfloor x \rfloor \), est définie par : \[ \lfloor x \rfloor = \max \{ n \in \mathbb{Z} \ | \ n \leq x \} \]
Exemples :
- \( \lfloor 4.7 \rfloor = 4 \)
- \( \lfloor -3.2 \rfloor = -4 \)
Densité des rationnels dans \( \mathbb{R} \)
Les rationnels \( \mathbb{Q} \) sont denses dans \( \mathbb{R} \), ce qui signifie que :
Pour tout \( a, b \in \mathbb{R} \) avec \( a < b \), il existe toujours un \( q \in \mathbb{Q} \) tel que : \[ a < q < b \]
Cette propriété permet d’approcher n’importe quel réel avec une précision aussi fine que désirée.
Approximation décimale des nombres réels
Tout nombre réel peut être représenté sous forme décimale, ce qui facilite les calculs numériques.
Exemples :
- \( \pi \approx 3.14 \), ou encore \( 3.14159 \)
- \( \sqrt{2} \approx 1.41 \), ou \( 1.4142 \)
Ces approximations sont essentielles en physique, ingénierie, et informatique.
Conclusion
Les nombres réels sont la base de l’analyse mathématique. Ils englobent des concepts fondamentaux comme les bornes, la continuité, les limites, ou encore la densité. Une bonne compréhension de \( \mathbb{R} \) permet de maîtriser des notions avancées et d’appliquer les mathématiques dans les domaines les plus variés.
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