Série d'Exercices Théorème de Pythagore

Exercice 1 : Calcul de la longueur de \( AB \)

Enoncé

On considère un triangle rectangle \( ABC \) en \( C \) tel que :

• \( AC = 2 \sqrt{5} \)
• \( BC = 4 \)

Calculer la longueur de \( AB \).

Indications

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Utilisez le théorème de Pythagore qui relie les côtés d'un triangle rectangle.

Corrigé

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Pour calculer \( AB \), on utilise le théorème de Pythagore, qui nous dit que :

\[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \]

En remplaçant les valeurs connues :

\[ AB^2 = (2 \sqrt{5})^2 + 4^2 \]

Calculons chaque terme :

• \( (2 \sqrt{5})^2 = 4 \times 5 = 20 \)
• \( 4^2 = 16 \)

Donc :

\[ AB^2 = 20 + 16 = 36 \]

En prenant la racine carrée de chaque côté, nous obtenons :

\[ AB = \sqrt{36} = 6\]

La longueur de \( AB \) est donc égale à 6.

Exercice 2 : Triangle rectangle isocèle en \( A \)

Enoncé

On considère un triangle rectangle \( ABC \) isocèle en \( A \) tel que :

• \( AB = 4 \, cm \)
• \( M \) est le milieu de \( [BC] \)

1. Faire la figure.
2. Calculer \( BC \).
3. En déduire \( AM \).

Indications

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Utilisez les propriétés d'un triangle isocèle rectangle pour déterminer les longueurs des côtés.

Corrigé

▼

1. Faire la figure : Dessinez un triangle isocèle rectangle en \( A \) avec \( AB = 4 \, cm \).

2. Calculons \( BC \) :

Dans un triangle isocèle rectangle, les deux côtés perpendiculaires sont égaux, donc \( AC = AB = 4 \, cm \).

D'après le théorème de Pythagore :

\[ BC^2 = AB^2 + AC^2 \]

\[ BC^2 = 4^2 + 4^2 = 16 + 16 = 32 \]

\[ BC = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \, cm \]

3. En déduire \( AM \) :

Puisque \( M \) est le milieu de \( [BC] \), on a :

\[ AM = \frac{BC}{2} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \, cm \]

Exercice 3 : Calcul de la longueur de \( AB \) pour un carré

Enoncé

On considère un carré \( ABCD \) de diagonale \( 4 \, cm \).

Calculer la longueur de \( AB \).

Indications

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Utilisez la relation entre la diagonale et le côté d'un carré : dans un carré de côté \( a \), la diagonale est \( a\sqrt{2} \).

Corrigé

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Soit \( a \) la longueur du côté du carré \( ABCD \). La diagonale du carré est donnée par :

\[ d = a\sqrt{2} \]

On nous donne la diagonale \( d = 4 \, cm \), donc :

\[ a\sqrt{2} = 4 \]

En isolant \( a \), on obtient :

\[ a = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2} \, cm \]

La longueur de \( AB \) est donc \( 2\sqrt{2} \, cm \).

Exercice 4 : Calcul de \( FP \) dans un triangle rectangle

Enoncé

Soit \( EFP \) un triangle rectangle en \( P \) tel que :

• \( EF = 5 \)
• \( EP = 4 \)

1. Calculer \( FP \).
2. Soit \( H \) le projeté orthogonal de \( P \) sur la droite \( (EF) \).

a. Vérifier que : \( (5 - FH)^2 - FH^2 = 7 \).
b. En déduire que : \( FH = 1.8 \).
c. Calculer \( PH \).

Indications

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Pour calculer \( FP \), utilisez le théorème de Pythagore. Pour les autres questions, utilisez les propriétés de la projection orthogonale et les équations données.

Corrigé

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1. Calculons \( FP \) :

D'après le théorème de Pythagore dans le triangle \( EFP \) :

\[ FP^2 = EF^2 - EP^2 \]

\[ FP^2 = 5^2 - 4^2 = 25 - 16 = 9 \]

\[ FP = 3 \]

2. Calculons \( FH \) et \( PH \) :

a. Vérifions que : \( (5 - FH)^2 - FH^2 = 7 \).

En remplaçant \( FH \) par 1.8 :

\[ (5 - 1.8)^2 - 1.8^2 = 3.2^2 - 1.8^2 = 10.24 - 3.24 = 7 \]

b. Nous en déduisons que \( FH = 1.8 \).

c. Calculons \( PH \) :

\[ PH = \sqrt{EP^2 - FH^2} = \sqrt{4^2 - 1.8^2} = \sqrt{16 - 3.24} = \sqrt{12.76} \approx 3.57 \]

Exercice 5 : Vérification des triangles rectangles

Enoncé

1. Soit \( MNP \) un triangle tel que :

• \( MN = 20 \, cm \)
• \( MP = 12 \, cm \)
• \( NP = 16 \, cm \)

Le triangle \( MNP \) est-il rectangle ? Justifier la réponse.

2. Soit \( RST \) un triangle tel que :

• \( ST = 6 \, cm \)
• \( RS = 4 \, cm \)
• \( RT = 4.5 \, cm \)

Le triangle \( RST \) est-il rectangle ? Justifier la réponse.

Indications

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Utilisez le théorème de Pythagore pour vérifier si les triangles sont rectangles. Calculez le carré des longueurs des côtés pour vérifier si la relation \( a^2 + b^2 = c^2 \) est respectée.

Corrigé

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1. Vérification pour le triangle \( MNP \) :

Calculez \( MN^2 + MP^2 \) et comparez avec \( NP^2 \) :

\[ MN^2 + MP^2 = 20^2 + 12^2 = 400 + 144 = 544 \]

\[ NP^2 = 16^2 = 256 \]

Comme \( MN^2 + MP^2 \neq NP^2 \), le triangle \( MNP \) n'est pas rectangle.

2. Vérification pour le triangle \( RST \) :

Calculez \( RS^2 + ST^2 \) et comparez avec \( RT^2 \) :

\[ RS^2 + ST^2 = 4^2 + 6^2 = 16 + 36 = 52 \]

\[ RT^2 = 4.5^2 = 20.25 \]

Comme \( RS^2 + ST^2 \neq RT^2 \), le triangle \( RST \) n'est pas rectangle.

Exercice 6 : Vérification de la perpendicularité

Enoncé

Soit \( ABC \) un triangle tel que :

• \( AB = 2\sqrt{3} \)
• \( BC = 4 \)
• \( AC = 2 \)

1. Montrer que le triangle \( ABC \) est rectangle en \( A \).
2. Soit \( H \) le projeté orthogonal de \( A \) sur la droite \( (BC) \).

a. Calculer \( AH \).
b. En déduire \( CH \).

Indications

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Utilisez le théorème de Pythagore pour vérifier la perpendicularité dans le triangle \( ABC \). Pour calculer \( AH \) et \( CH \), utilisez les propriétés des projections orthogonales.

Corrigé

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1. Montrons que le triangle \( ABC \) est rectangle en \( A \) :

Calculons \( AB^2 + AC^2 \) et comparons avec \( BC^2 \) :

\[ AB^2 + AC^2 = (2\sqrt{3})^2 + 2^2 = 12 + 4 = 16 \]

\[ BC^2 = 4^2 = 16 \]

Comme \( AB^2 + AC^2 = BC^2 \), le triangle \( ABC \) est bien rectangle en \( A \).

2. Calculons \( AH \) et \( CH \) :

a. Calcul de \( AH \) :

Dans le triangle rectangle \( ABC \), nous avons :

\[ AH = \frac{AB \cdot AC}{BC} = \frac{2\sqrt{3} \cdot 2}{4} = \frac{4\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3} \]

b. Calcul de \( CH \) :

Nous savons que \( CH = BC - BH \) et comme \( BH = AH \), nous avons :

\[ CH = 4 - \sqrt{3} \]