Puissances: 8 Exercices Corrigés 3ème Année Collège

Exercice 1 : Calculez des puissances et expressions avec racines

Enoncé

Calculer :

1. \( 7^3 \)
2. \( 5^4 \)
3. \( \left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)^3 \)
4. \( \left(\frac{3}{7}\right)^{-4} \)
5. \( 5^{-4} \)
6. \( (2\sqrt{3})^{-1} \)
7. \( \sqrt[3]{5} \times \sqrt[3]{9} \)
8. \( ((\sqrt{2022} - 7) - 2)^{21} \)
9. \( \left(\frac{3}{\sqrt{5}}\right)^6 \)
10. \( \left(\frac{5}{4}\right)^{-1} \)

Indications

▼

• Pour les puissances simples comme \( 7^3 \) et \( 5^4 \), élever directement le nombre à la puissance donnée.
• Pour les fractions avec racines, comme \( \left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)^3 \), appliquer la propriété de puissance sur les numérateurs et les dénominateurs.
• Pour une puissance négative, comme \( \left(\frac{3}{7}\right)^{-4} \), prendre l'inverse de la fraction et appliquer la puissance positive.
• Pour \( \sqrt[3]{5} \times \sqrt[3]{9} \), convertir en notation exponentielle (racines en puissances fractionnaires) pour simplifier.
• Pour une expression complexe comme \( ((\sqrt{2022} - 7) - 2)^{21} \), évaluer d'abord l'intérieur de la parenthèse, puis appliquer la puissance.

Corrigé

▼

1. \( 7^3 \)

   Calcul : \( 7^3 = 7 \times 7 \times 7 = 343 \)

2. \( 5^4 \)

   Calcul : \( 5^4 = 5 \times 5 \times 5 \times 5 = 625 \)

3. \( \left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)^3 \)

   Calcul : \( \left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)^3 = \frac{2^3}{(\sqrt{5})^3} = \frac{8}{5^{3/2}} = \frac{8}{5\sqrt{5}} \)

4. \( \left(\frac{3}{7}\right)^{-4} \)

   Calcul : \( \left(\frac{3}{7}\right)^{-4} = \left(\frac{7}{3}\right)^4 = \frac{7^4}{3^4} = \frac{2401}{81} \)

5. \( 5^{-4} \)

   Calcul : \( 5^{-4} = \frac{1}{5^4} = \frac{1}{625} \)

6. \( (2\sqrt{3})^{-1} \)

   Calcul : \( (2\sqrt{3})^{-1} = \frac{1}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{6} \)

7. \( \sqrt[3]{5} \times \sqrt[3]{9} \)

   Calcul : \( \sqrt[3]{5} \times \sqrt[3]{9} = 5^{1/3} \times 9^{1/3} = (5 \times 9)^{1/3} = 45^{1/3} = \sqrt[3]{45} \)

8. \( ((\sqrt{2022} - 7) - 2)^{21} \)

   Calcul : \( (\sqrt{2022} - 7) - 2 = \sqrt{2022} - 9 \)

   Ensuite : \( (\sqrt{2022} - 9)^{21} \)

9. \( \left(\frac{3}{\sqrt{5}}\right)^6 \)

   Calcul : \( \left(\frac{3}{\sqrt{5}}\right)^6 = \frac{3^6}{(\sqrt{5})^6} = \frac{729}{5^3} = \frac{729}{125} \)

10. \( \left(\frac{5}{4}\right)^{-1} \)

    Calcul : \( \left(\frac{5}{4}\right)^{-1} = \frac{4}{5} \)

Exercice 2 : Transformez et Simplifiez des Expressions en Utilisant les Propriétés des Puissances

Enoncé

1. Écrire sous forme d'une puissance :

1. \( A = 7^{11} \times 7^{-15} \)
2. \( B = \left(\frac{\sqrt{3}}{15}\right)^6 \times \left(\frac{5}{15}\right)^{13} \)
3. \( C = \left[\left(\frac{7}{5}\right)^2\right]^{-4} \)
4. \( D = \frac{\sqrt[7]{5^5}}{\sqrt[7]{7^2}} \)
5. \( E = 3 \sqrt{3} \times \sqrt{3} \times \sqrt[5]{3} \times \sqrt[3]{3} \times \sqrt[3]{3} \)
6. \( F = \left(\frac{2\sqrt{3}}{5}\right)^2 \times \left(\frac{5}{2\sqrt{3}}\right)^{11} \)
7. \( G = 7^{-7} \times \sqrt{7} \)
8. \( H = \frac{125}{2\sqrt{2} \times 5} \)
9. \( I = (2\sqrt{3})^5 \times \frac{5}{12} \)
10. \( L = \left(\frac{3}{5}\right)^4 \times \left(\frac{21}{15}\right)^{11} \times \left(\frac{3}{7}\right)^8 \)

2. Écrire sous forme d'une puissance à exposant positif :

11. \( A = (-2)^3 \times (-2)^7 \)
12. \( B = \left(\frac{-1}{\sqrt{21}}\right)^{-5} \)
13. \( C = 11 \times (\sqrt{11})^5 \)
14. \( D = E^{-7} \times \sqrt{E} \)
15. \( F = 23^{-4} \times \sqrt{23} \times \sqrt{23}^{-13} \)
16. \( G = (-3)^{12} \times \left(\sqrt{21}\right)^{13} \)

Indications

▼

• Utilisez les propriétés des puissances : pour des produits, additionnez les exposants ; pour des quotients, soustrayez-les.
• Pour les racines, exprimez-les sous forme de puissances fractionnaires.
• Pour des puissances à exposant négatif, prenez l'inverse de la base et changez l'exposant en positif.

Corrigé

▼

1. \( A = 7^{11} \times 7^{-15} \)

   Calcul : \( A = 7^{11 - 15} = 7^{-4} = \frac{1}{7^4} \)

2. \( B = \left(\frac{\sqrt{3}}{15}\right)^6 \times \left(\frac{5}{15}\right)^{13} \)

   Calcul : \( B = \frac{(\sqrt{3})^6 \times 5^{13}}{15^{6+13}} = \frac{3^3 \times 5^{13}}{15^{19}} \)

3. \( C = \left[\left(\frac{7}{5}\right)^2\right]^{-4} \)

   Calcul : \( C = \left(\frac{7}{5}\right)^{-8} = \frac{5^8}{7^8} \)

4. \( D = \frac{\sqrt[7]{5^5}}{\sqrt[7]{7^2}} \)

   Calcul : \( D = \frac{5^{5/7}}{7^{2/7}} \)

5. \( E = 3 \sqrt{3} \times \sqrt{3} \times \sqrt[5]{3} \times \sqrt[3]{3} \times \sqrt[3]{3} \)

   Calcul : \( E = 3^{1 + 1/2 + 1/2 + 1/5 + 1/3 + 1/3} = 3^{2 + 1/5 + 2/3} \)

6. \( F = \left(\frac{2\sqrt{3}}{5}\right)^2 \times \left(\frac{5}{2\sqrt{3}}\right)^{11} \)

   Calcul : \( F = \frac{(2\sqrt{3})^{2-11}}{5^{2-11}} = \frac{2^{-9} \cdot 3^{-4.5}}{5^{-9}} \)

7. \( G = 7^{-7} \times \sqrt{7} \)

   Calcul : \( G = 7^{-7 + 1/2} = 7^{-6.5} \)

8. \( H = \frac{125}{2\sqrt{2} \times 5} \)

   Calcul : \( H = \frac{125}{2 \times 5 \times \sqrt{2}} = \frac{25}{2\sqrt{2}} \)

9. \( I = (2\sqrt{3})^5 \times \frac{5}{12} \)

   Calcul : \( I = \frac{(2\sqrt{3})^5 \times 5}{12} = \frac{2^5 \cdot 3^{2.5} \cdot 5}{12} \)

10. \( L = \left(\frac{3}{5}\right)^4 \times \left(\frac{21}{15}\right)^{11} \times \left(\frac{3}{7}\right)^8 \)

    Calcul : \( L = \frac{3^{4+8} \times 21^{11}}{5^4 \times 15^{11} \times 7^8} = \frac{3^{12} \times 21^{11}}{5^4 \times 15^{11} \times 7^8} \)

11. \( A = (-2)^3 \times (-2)^7 \)

    Calcul : \( A = (-2)^{3+7} = (-2)^{10} \)

12. \( B = \left(\frac{-1}{\sqrt{21}}\right)^{-5} \)

    Calcul : \( B = \frac{\sqrt{21}^5}{(-1)^5} = -\sqrt{21}^5 \)

13. \( C = 11 \times (\sqrt{11})^5 \)

    Calcul : \( C = 11^{1+5/2} = 11^{3.5} \)

14. \( D = E^{-7} \times \sqrt{E} \)

    Calcul : \( D = E^{-7+1/2} = E^{-6.5} \)

15. \( F = 23^{-4} \times \sqrt{23} \times \sqrt{23}^{-13} \)

    Calcul : \( F = 23^{-4 + 1/2 - 13/2} = 23^{-9} \)

16. \( G = (-3)^{12} \times \left(\sqrt{21}\right)^{13} \)

    Calcul : \( G = (-3)^{12} \times 21^{6.5} \)

Exercice 3: Utiliser les propriétés des puissances pour simplifier des expressions

Enoncé

Écrire sous forme d'une puissance :

1. \( A = (10^2)^4 \)
2. \( B = \frac{(3^5)^2}{3^4} \)
3. \( C = 5^3 \times 5^5 \)
4. \( D = \frac{7^{12}}{7^8} \)
5. \( E = (2^3 \times 3^4)^2 \)
6. \( F = \left(\frac{4}{5}\right)^3 \times \left(\frac{4}{5}\right)^{-2} \)

Indications

▼

• Utilisez les propriétés des puissances : pour des produits, additionnez les exposants ; pour des quotients, soustrayez-les.
• Pour des puissances d'une puissance, multipliez les exposants.

Corrigé

▼

1. \( A = (10^2)^4 \)

   Calcul : \( A = 10^{2 \times 4} = 10^8 \)

2. \( B = \frac{(3^5)^2}{3^4} \)

   Calcul : \( B = \frac{3^{5 \times 2}}{3^4} = \frac{3^{10}}{3^4} = 3^{10 - 4} = 3^6 \)

3. \( C = 5^3 \times 5^5 \)

   Calcul : \( C = 5^{3 + 5} = 5^8 \)

4. \( D = \frac{7^{12}}{7^8} \)

   Calcul : \( D = 7^{12 - 8} = 7^4 \)

5. \( E = (2^3 \times 3^4)^2 \)

   Calcul : \( E = 2^{3 \times 2} \times 3^{4 \times 2} = 2^6 \times 3^8 \)

6. \( F = \left(\frac{4}{5}\right)^3 \times \left(\frac{4}{5}\right)^{-2} \)

   Calcul : \( F = \left(\frac{4}{5}\right)^{3 - 2} = \left(\frac{4}{5}\right)^1 = \frac{4}{5} \)

Exercice 4: Manipuler les puissances avec conditions sur des réels positifs

Enoncé

Soient \( a \) et \( b \) deux réels positifs tels que \( a \cdot b = 7 \) et \( \frac{a}{b} = 5 \). Calculer :

1. \( A = a^3 \cdot b^3 \)
2. \( B = \frac{a^{-2}}{b^4} \)
3. \( C = a^2 \cdot b^5 \)
4. \( D = a^{-3} \times b^2 \times a^3 \times b^{-5} \)
5. \( E = 7 \left( a \times b^{-2} \right)^5 \)

Indications

▼

• Utilisez les propriétés des puissances pour simplifier les expressions.
• Pour les produits et quotients, additionnez ou soustrayez les exposants.
• Substituez les valeurs de \( a \cdot b \) et \( \frac{a}{b} \) lorsque nécessaire.

Corrigé

▼

1. \( A = a^3 \cdot b^3 \)

   Calcul : \( A = (a \cdot b)^3 = 7^3 = 343 \)

2. \( B = \frac{a^{-2}}{b^4} \)

   Calcul : On peut réécrire \( B \) comme \( a^{-2} \cdot b^{-4} = \left( \frac{a}{b} \right)^{-2} = 5^{-2} = \frac{1}{25} \)

3. \( C = a^2 \cdot b^5 \)

   Calcul : En utilisant \( a \cdot b = 7 \), on a \( C = a^2 \cdot b^5 = (a \cdot b)^2 \cdot b^3 = 7^2 \cdot b^3 = 49 \cdot b^3 \)

4. \( D = a^{-3} \times b^2 \times a^3 \times b^{-5} \)

   Calcul : Simplifions \( D = a^{-3+3} \cdot b^{2-5} = a^0 \cdot b^{-3} = b^{-3} = \frac{1}{b^3} \)

5. \( E = 7 \left( a \times b^{-2} \right)^5 \)

   Calcul : \( E = 7 \cdot a^5 \cdot b^{-10} = 7 \cdot \left( \frac{a}{b^2} \right)^5 = 7 \cdot 5^5 = 7 \cdot 3125 = 21875 \)

Exercice 5: Décomposition de nombres en puissances de 2 et 5

Enoncé

Écrire sous la forme de \( 2^n \times 5^m \), où \( n \) et \( m \) sont deux entiers relatifs, chacun des nombres suivants :

1. \( A = 2^6 \times 10^{-3} \times 32 \)
2. \( B = 0,0001 \times 125 \times 3^2 \)
3. \( C = \frac{6 \times (0,0004)^3 \times 5^7}{3^4} \)
4. \( D = (2500)^4 \)

Indications

▼

• Exprimez chaque nombre sous la forme d'une puissance de \( 2 \) et/ou \( 5 \), en utilisant les propriétés de la décomposition en facteurs premiers.
• Utilisez les propriétés des puissances et simplifiez autant que possible.

Corrigé

▼

1. \( A = 2^6 \times 10^{-3} \times 32 \)

   Calcul : On sait que \( 10^{-3} = 2^{-3} \times 5^{-3} \) et \( 32 = 2^5 \), donc :

   \( A = 2^6 \times (2^{-3} \times 5^{-3}) \times 2^5 = 2^{6 - 3 + 5} \times 5^{-3} = 2^8 \times 5^{-3} \)

2. \( B = 0,0001 \times 125 \times 3^2 \)

   Calcul : On sait que \( 0,0001 = 10^{-4} = 2^{-4} \times 5^{-4} \) et \( 125 = 5^3 \), donc :

   \( B = (2^{-4} \times 5^{-4}) \times 5^3 \times 3^2 = 2^{-4} \times 5^{-4 + 3} \times 3^2 = 2^{-4} \times 5^{-1} \times 3^2 \)

3. \( C = \frac{6 \times (0,0004)^3 \times 5^7}{3^4} \)

   Calcul : On sait que \( 0,0004 = 4 \times 10^{-4} = 2^2 \times 10^{-4} = 2^2 \times (2^{-4} \times 5^{-4}) \). En élevant à la puissance 3, on obtient :

   \( (0,0004)^3 = (2^2 \times 2^{-4} \times 5^{-4})^3 = 2^{6 - 12} \times 5^{-12} = 2^{-6} \times 5^{-12} \)

   Donc \( C = \frac{6 \times 2^{-6} \times 5^{-12} \times 5^7}{3^4} \)

   En simplifiant : \( C = 2^{-6} \times 5^{-5} \times 2^1 = 2^{-5} \times 5^{-5} \)

4. \( D = (2500)^4 \)

   Calcul : On sait que \( 2500 = 2^2 \times 5^4 \), donc :

   \( D = (2^2 \times 5^4)^4 = 2^{8} \times 5^{16} \)

Exercice 6 : Calcul de puissances

Énoncé

Calculer sans utiliser de calculatrice :

• \( A = 2020^2 \)
• \( B = 2023^2 + 2019^2 - 2022^2 \)

Indications

▼

Utiliser les identités remarquables pour simplifier le calcul, par exemple \( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \) et \( (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \).

Corrigé

▼

1. Calcul de \( A = 2020^2 \) :
En utilisant l'identité remarquable, on peut écrire :
\( A = 2020^2 = (2000 + 20)^2 \)
\( = 2000^2 + 2 \times 2000 \times 20 + 20^2 \)
\( = 4000000 + 80000 + 400 = 4080400 \).

2. Calcul de \( B = 2023^2 + 2019^2 - 2022^2 \) :
En décomposant chaque terme en utilisant les identités remarquables :
\( 2023^2 = (2020 + 3)^2 = 2020^2 + 2 \times 2020 \times 3 + 3^2 = 4080400 + 12120 + 9 = 4092529 \)
\( 2019^2 = (2020 - 1)^2 = 2020^2 - 2 \times 2020 \times 1 + 1^2 = 4080400 - 4040 + 1 = 4076361 \)
\( 2022^2 = (2020 + 2)^2 = 2020^2 + 2 \times 2020 \times 2 + 2^2 = 4080400 + 8080 + 4 = 4088484 \)
Donc,
\( B = 4092529 + 4076361 - 4088484 = 4080406 \).

Exercice 7: Écriture scientifique et simplification des nombres

Enoncé

Déterminer l'écriture scientifique des nombres suivants :

1. \( 3657000 \)
2. \( 1234 \times 10^{-7} \)
3. \( 125 \times 3470000000 \times 10^{21} \)
4. \( 7520000000000 \)
5. \( 23 \times 10^{23} + 1200 \times 10^{22} \)
6. \( -0.0000451 \)
7. \( 0.00342 \times 4500 \times 10^7 \)
8. \( 5^2 \times 0.0004 \times 10^{-7} \)
9. \( 234 \times 10^{-37} - 45021 \times 10^{-40} \)

Indications

▼

• Pour exprimer un nombre en écriture scientifique, il faut le mettre sous la forme \( a \times 10^n \), où \( 1 \leq a < 10 \) et \( n \) est un entier.
• Utilisez les propriétés des puissances de 10 pour simplifier les expressions.

Corrigé

▼

1. \( 3657000 = 3.657 \times 10^6 \)

2. \( 1234 \times 10^{-7} = 1.234 \times 10^3 \times 10^{-7} = 1.234 \times 10^{-4} \)

3. \( 125 \times 3470000000 \times 10^{21} = 1.25 \times 10^2 \times 3.47 \times 10^9 \times 10^{21} = 4.3375 \times 10^{32} \)

4. \( 7520000000000 = 7.52 \times 10^{12} \)

5. \( 23 \times 10^{23} + 1200 \times 10^{22} = 2.3 \times 10^{24} + 1.2 \times 10^{25} = 1.43 \times 10^{25} \)

6. \( -0.0000451 = -4.51 \times 10^{-5} \)

7. \( 0.00342 \times 4500 \times 10^7 = 3.42 \times 10^{-3} \times 4.5 \times 10^3 \times 10^7 = 1.539 \times 10^8 \)

8. \( 5^2 \times 0.0004 \times 10^{-7} = 25 \times 4 \times 10^{-4} \times 10^{-7} = 1 \times 10^{-10} \)

9. \( 234 \times 10^{-37} - 45021 \times 10^{-40} = 2.34 \times 10^{-35} - 4.5021 \times 10^{-36} = 1.88979 \times 10^{-35} \)

Exercice 8: Notation scientifique et encadrement par puissances de 10

Enoncé

Voici des renseignements concernant la Terre :

• Longueur de l'équateur : \( 40075,017 \, \text{km} \)
• Superficie : \( 510067420 \, \text{km}^2 \)
• Masse : \( 5,974 \times 10^{24} \, \text{kg} \)
• Volume : \( 1,083207 \times 10^{12} \, \text{km}^3 \)

1. Donner l'écriture scientifique de chaque nombre.
2. Encadrer chacun des nombres précédents par deux puissances de 10 à exposants consécutifs.

Indications

▼

• Pour exprimer un nombre en écriture scientifique, placez-le sous la forme \( a \times 10^n \), avec \( 1 \leq a < 10 \) et \( n \) entier.
• Pour encadrer un nombre par deux puissances de 10, trouvez les puissances immédiatement inférieure et supérieure.

Corrigé

▼

1. Écriture scientifique de chaque nombre :

   • Longueur de l'équateur : \( 40075,017 \approx 4,0075 \times 10^4 \, \text{km} \)
   • Superficie : \( 510067420 \approx 5,1007 \times 10^8 \, \text{km}^2 \)
   • Masse : \( 5,974 \times 10^{24} \, \text{kg} \) (déjà en écriture scientifique)
   • Volume : \( 1,083207 \times 10^{12} \, \text{km}^3 \) (déjà en écriture scientifique)

2. Encadrement de chaque nombre par deux puissances de 10 :

   • Longueur de l'équateur : \( 10^4 < 4,0075 \times 10^4 < 10^5 \)
   • Superficie : \( 10^8 < 5,1007 \times 10^8 < 10^9 \)
   • Masse : \( 10^{24} < 5,974 \times 10^{24} < 10^{25} \)
   • Volume : \( 10^{12} < 1,083207 \times 10^{12} < 10^{13} \)