Cours sur les Espaces Euclidiens

Cours sur les Espaces Euclidiens

Un espace euclidien est un espace vectoriel réel de dimension finie muni d'un produit scalaire. Formellement :

\[ E = (\mathbb{R}^n, \langle\cdot,\cdot\rangle) \]

Espaces Euclidiens

Produit Scalaire

Définition et propriétés

Le produit scalaire de deux vecteurs \( \mathbf{u} \) et \( \mathbf{v} \) dans un espace euclidien est défini par :

\[ \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = \sum_{i=1}^{n} u_i v_i \]

Propriétés principales :

  • Symétrie : \( \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = \mathbf{v} \cdot \mathbf{u} \)
  • Linéarité : \( \mathbf{u} \cdot (a\mathbf{v} + b\mathbf{w}) = a(\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}) + b(\mathbf{u} \cdot \mathbf{w}) \)
  • Définie positive : \( \mathbf{u} \cdot \mathbf{u} \geq 0 \), avec égalité si et seulement si \( \mathbf{u} = \mathbf{0} \)

Exemples

Exemple de produit scalaire dans \( \mathbb{R}^2 \) :

\[ \mathbf{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{v} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} \Rightarrow \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = 1 \times 3 + 2 \times 4 = 11 \]

Orthogonalité

Vecteurs orthogonaux

Deux vecteurs \( \mathbf{u} \) et \( \mathbf{v} \) sont orthogonaux si leur produit scalaire est nul :

\[ \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = 0 \]

Sous-espaces orthogonaux

Deux sous-espaces vectoriels \( U \) et \( V \) sont orthogonaux si tout vecteur de \( U \) est orthogonal à tout vecteur de \( V \).

Exemple : Dans \( \mathbb{R}^3 \), le plan \( z = 0 \) et l'axe \( z \) sont orthogonaux.

Bases Orthogonales et Orthonormées

Définitions

Une base \( \{\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \dots, \mathbf{e}_n\} \) d'un espace euclidien est dite orthogonale si :

\[ \mathbf{e}_i \cdot \mathbf{e}_j = 0 \quad \text{pour tout} \quad i \neq j \]

Elle est dite orthonormée si en plus :

\[ \|\mathbf{e}_i\| = 1 \quad \text{pour tout} \quad i \]

Construction et propriétés

Pour construire une base orthogonale à partir d'une base quelconque, on utilise le procédé de Gram-Schmidt.

Propriétés des bases orthonormées :

  • Les vecteurs sont unitaires et orthogonaux deux à deux.
  • La matrice de passage vers une base orthonormée est une matrice orthogonale.

Procédé d’Orthogonalisation de Gram-Schmidt

Algorithme

Soit \( \{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_n\} \) une base d'un espace euclidien. Le procédé de Gram-Schmidt construit une base orthogonale \( \{\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \dots, \mathbf{u}_n\} \) comme suit :

\[ \mathbf{u}_1 = \mathbf{v}_1 \]

\[ \mathbf{u}_k = \mathbf{v}_k - \sum_{i=1}^{k-1} \frac{\mathbf{v}_k \cdot \mathbf{u}_i}{\mathbf{u}_i \cdot \mathbf{u}_i} \mathbf{u}_i \quad \text{pour} \quad k = 2, \dots, n \]

Applications

Le procédé de Gram-Schmidt est utilisé pour :

  • Construire des bases orthogonales dans des espaces vectoriels.
  • Résoudre des problèmes de moindres carrés.
  • Simplifier les calculs dans les projections orthogonales.

Endomorphismes Orthogonaux

Définition et caractérisation

Un endomorphisme \( f \) d'un espace euclidien est dit orthogonal s'il conserve le produit scalaire :

\[ f(\mathbf{u}) \cdot f(\mathbf{v}) = \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} \quad \text{pour tout} \quad \mathbf{u}, \mathbf{v} \]

Caractérisation : \( f \) est orthogonal si et seulement si sa matrice dans une base orthonormée est une matrice orthogonale (i.e., \( A^T A = I \)).

Propriétés spectrales

Les endomorphismes orthogonaux ont des propriétés spectrales remarquables :

  • Les valeurs propres sont de module 1.
  • Les vecteurs propres correspondant à des valeurs propres distinctes sont orthogonaux.

Endomorphismes Symétriques

Définition et propriétés

Un endomorphisme \( f \) d'un espace euclidien \( E \) est dit **symétrique** si pour tous vecteurs \( \mathbf{u}, \mathbf{v} \in E \), on a :

\[ \langle f(\mathbf{u}), \mathbf{v} \rangle = \langle \mathbf{u}, f(\mathbf{v}) \rangle \]

Propriétés principales :

  • La matrice associée à un endomorphisme symétrique dans une base orthonormée est symétrique.
  • Toutes les valeurs propres d'un endomorphisme symétrique sont réelles.
  • Les vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes sont orthogonaux.

Diagonalisation

Un endomorphisme symétrique est **diagonalisable** dans une base orthonormée. Cela signifie qu'il existe une base orthonormée de \( E \) constituée de vecteurs propres de \( f \).

En d'autres termes, si \( f \) est symétrique, alors il existe une matrice orthogonale \( P \) et une matrice diagonale \( D \) telles que :

\[ f = P D P^{-1} \]

où \( D \) contient les valeurs propres de \( f \), et \( P \) est une matrice orthogonale (c'est-à-dire \( P^{-1} = P^\top \)).

Applications

Les endomorphismes symétriques ont de nombreuses applications, notamment :

  • En géométrie : pour l'étude des quadriques et des formes quadratiques.
  • En physique : pour décrire des systèmes physiques symétriques, comme les tenseurs d'inertie.
  • En optimisation : pour les problèmes de minimisation sous contraintes quadratiques.

Formes Quadratiques dans un Espace Euclidien

Définition et exemples

Une forme quadratique \( Q \) sur un espace euclidien \( E \) est une application qui associe à tout vecteur \( \mathbf{x} \in E \) un scalaire défini par :

\[ Q(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^T A \mathbf{x} \]

où \( A \) est une matrice symétrique. Par exemple, dans \( \mathbb{R}^2 \), une forme quadratique peut s'écrire :

\[ Q(x, y) = ax^2 + 2bxy + cy^2 \]

Réduction des formes quadratiques

La réduction d'une forme quadratique consiste à la diagonaliser en trouvant une base orthonormée dans laquelle la matrice \( A \) devient diagonale. Cela s'exprime par :

\[ Q(\mathbf{x}) = \lambda_1 x_1^2 + \lambda_2 x_2^2 + \dots + \lambda_n x_n^2 \]

où \( \lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n \) sont les valeurs propres de \( A \).

Applications en géométrie et optimisation

Les formes quadratiques sont utilisées en géométrie pour décrire des coniques (ellipses, hyperboles, paraboles) et des quadriques. En optimisation, elles apparaissent dans les problèmes de minimisation ou maximisation de fonctions quadratiques sous contraintes.

Exemple en optimisation :

\[ \text{Minimiser } Q(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^T A \mathbf{x} + \mathbf{b}^T \mathbf{x} + c \]

sous la contrainte \( \|\mathbf{x}\| = 1 \).

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