Cours sur les Matrices

1. Introduction aux matrices

Une matrice est un tableau rectangulaire de nombres organisé en lignes et en colonnes. On note généralement une matrice \( A \) de taille \( m \times n \) (avec \( m \) lignes et \( n \) colonnes) comme suit :

\[ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} \]

Chaque élément de la matrice est désigné par \( a_{ij} \), où \( i \) représente l'indice de la ligne et \( j \) l'indice de la colonne.

Par exemple, une matrice de taille \( 2 \times 3 \) est donnée par :

\[ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \]

Types de matrices

• Matrice ligne : Une matrice avec une seule ligne, de taille \( 1 \times n \).
• Matrice colonne : Une matrice avec une seule colonne, de taille \( m \times 1 \).
• Matrice carrée : Une matrice avec un nombre égal de lignes et de colonnes (\( m = n \)).

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2. Opérations sur les matrices

Voici les principales opérations que l'on peut effectuer sur des matrices :

Addition et soustraction de matrices

Deux matrices \( A \) et \( B \) de même taille \( m \times n \) peuvent être additionnées ou soustraites élément par élément :

\[ C = A + B \quad \text{où} \quad c_{ij} = a_{ij} + b_{ij}. \]

Exemple :

\[ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix} \] \[ A + B = \begin{bmatrix} 1+5 & 2+6 \\ 3+7 & 4+8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 8 \\ 10 & 12 \end{bmatrix}. \]

Multiplication par un scalaire

La multiplication d'une matrice \( A \) par un scalaire \( \lambda \) consiste à multiplier chaque élément de \( A \) par \( \lambda \) :

\[ B = \lambda A \quad \text{où} \quad b_{ij} = \lambda a_{ij}. \]

Exemple :

\[ A = \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 3 & 0 \end{bmatrix}, \quad \lambda = 3 \] \[ 3A = \begin{bmatrix} 3 \cdot 1 & 3 \cdot (-2) \\ 3 \cdot 3 & 3 \cdot 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & -6 \\ 9 & 0 \end{bmatrix}. \]

Multiplication de matrices

La multiplication de deux matrices \( A \) et \( B \) est définie si le nombre de colonnes de \( A \) est égal au nombre de lignes de \( B \). Si \( A \) est de taille \( m \times p \) et \( B \) de taille \( p \times n \), alors leur produit \( C = A \times B \) est de taille \( m \times n \), avec :

\[ c_{ij} = \sum_{k=1}^p a_{ik} b_{kj}. \]

Exemple :

Soient \( A \) et \( B \) : \[ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}. \] Le produit \( A \times B \) est : \[ A \times B = \begin{bmatrix} 1 \cdot 2 + 2 \cdot 1 & 1 \cdot 0 + 2 \cdot 3 \\ 3 \cdot 2 + 4 \cdot 1 & 3 \cdot 0 + 4 \cdot 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 6 \\ 10 & 12 \end{bmatrix}. \]

Transposée d'une matrice

La transposée d'une matrice \( A \) de taille \( m \times n \) est la matrice \( A^T \) obtenue en échangeant les lignes et les colonnes de \( A \). Ainsi :

\[ (A^T)_{ij} = A_{ji}. \]

Exemple :

\[ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}, \quad A^T = \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{bmatrix}. \]

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3. Algèbre des matrices carrées

Une matrice carrée est une matrice ayant un nombre égal de lignes et de colonnes, soit \( n \times n \).

Matrice diagonale

Une matrice est dite diagonale si tous les éléments hors de la diagonale principale sont nuls. Elle est de la forme :

\[ D = \begin{bmatrix} d_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & d_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & d_n \end{bmatrix}. \]

Exemple :

\[ D = \begin{bmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 7 \end{bmatrix}. \]

Matrice triangulaire

Une matrice est dite triangulaire supérieure si tous les éléments sous la diagonale principale sont nuls :

\[ U = \begin{bmatrix} u_{11} & u_{12} & \cdots & u_{1n} \\ 0 & u_{22} & \cdots & u_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & u_{nn} \end{bmatrix}. \]

Une matrice est dite triangulaire inférieure si tous les éléments au-dessus de la diagonale principale sont nuls.

Matrice symétrique

Une matrice carrée \( A \) est dite symétrique si elle est égale à sa transposée :

\[ A = A^T. \]

Exemple :

\[ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 5 \\ 3 & 5 & 6 \end{bmatrix}, \quad A^T = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 5 \\ 3 & 5 & 6 \end{bmatrix}. \]

Produit de matrices carrées

Le produit de deux matrices carrées \( A \) et \( B \) (de taille \( n \times n \)) est encore une matrice carrée de taille \( n \times n \). Le produit est défini par :

\[ C = A \times B \quad \text{où} \quad c_{ij} = \sum_{k=1}^n a_{ik} b_{kj}. \]

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4. Matrice inversible

Une matrice carrée \( A \) de taille \( n \times n \) est dite inversible s'il existe une matrice \( B \) telle que :

\[ A \times B = B \times A = I_n, \]

où \( I_n \) est la matrice identité de taille \( n \times n \), définie par :

\[ I_n = \begin{bmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{bmatrix}. \]

Calcul de l'inverse d'une matrice

L'inverse d'une matrice \( A \), notée \( A^{-1} \), peut être calculée si le déterminant de \( A \) est non nul (\( \det(A) \neq 0 \)).

Pour une matrice \( 2 \times 2 \) :

\[ A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}, \quad \det(A) = ad - bc. \] Si \( \det(A) \neq 0 \), alors : \[ A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}. \]

Exemple :

Soit \( A = \begin{bmatrix} 4 & 7 \\ 2 & 6 \end{bmatrix} \). Calculons son inverse :

\[ \det(A) = (4)(6) - (7)(2) = 24 - 14 = 10. \] \[ A^{-1} = \frac{1}{10} \begin{bmatrix} 6 & -7 \\ -2 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.6 & -0.7 \\ -0.2 & 0.4 \end{bmatrix}. \]

Matrice singulière

Si le déterminant de \( A \) est nul (\( \det(A) = 0 \)), alors \( A \) n'est pas inversible et on dit qu'elle est singulière.

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5. Systèmes de vecteurs et matrices

Un système de vecteurs dans un espace vectoriel est un ensemble de vecteurs \( \{v_1, v_2, \dots, v_k\} \).

Combinaison linéaire

Un vecteur \( v \) est une combinaison linéaire des vecteurs \( v_1, v_2, \dots, v_k \) s'il existe des scalaires \( \alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_k \) tels que :

\[ v = \alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 + \dots + \alpha_k v_k. \]

Exemple :

Soient \( v_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} \) et \( v_2 = \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix} \). Le vecteur \( v = \begin{bmatrix} 7 \\ 10 \end{bmatrix} \) est une combinaison linéaire de \( v_1 \) et \( v_2 \) car :

\[ v = 2 v_1 + 1 v_2 = 2 \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} + 1 \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 \\ 10 \end{bmatrix}. \]

Indépendance linéaire

Un système de vecteurs \( \{v_1, v_2, \dots, v_k\} \) est linéairement indépendant si la seule combinaison linéaire nulle est :

\[ \alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 + \dots + \alpha_k v_k = 0 \quad \text{implique} \quad \alpha_1 = \alpha_2 = \dots = \alpha_k = 0. \]

Si cette condition n'est pas remplie, les vecteurs sont dits dépendants linéairement.

Représentation matricielle

Un système de vecteurs \( \{v_1, v_2, \dots, v_k\} \) peut être représenté sous forme d'une matrice \( A \) dont les colonnes sont les vecteurs \( v_i \) :

\[ A = [v_1 \, v_2 \, \dots \, v_k]. \]

Exemple :

Soient \( v_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} \) et \( v_2 = \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix} \), la matrice est :

\[ A = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}. \]

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6. Rang d'une matrice

Le rang d'une matrice est le nombre maximal de vecteurs linéairement indépendants parmi les colonnes (ou les lignes) de la matrice.

Définition formelle

Soit \( A \) une matrice \( m \times n \). Le rang de \( A \), noté \( \text{rang}(A) \), est égal au nombre de colonnes non nulles dans une forme échelonnée de \( A \) (obtenue par des opérations élémentaires sur les lignes).

Forme échelonnée

Une matrice est dite en forme échelonnée si :

• Les premières entrées non nulles de chaque ligne (pivots) sont à droite de celles de la ligne précédente.
• Les lignes nulles sont en bas.

Exemple :

Soit la matrice : \[ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}. \] Cette matrice est en forme échelonnée. Le nombre de lignes non nulles est \( 2 \), donc \( \text{rang}(A) = 2 \).

Interprétation géométrique

Le rang d'une matrice correspond à la dimension de l'espace engendré par ses colonnes ou ses lignes.

Critère d'indépendance

Une matrice carrée \( A \) est inversible si et seulement si :

\[ \text{rang}(A) = n, \]

où \( n \) est la taille de \( A \).

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7. Matrices et applications linéaires

Une application linéaire est une fonction \( f \) qui préserve les opérations d'addition et de multiplication par un scalaire. Autrement dit, pour tous vecteurs \( u, v \) et tout scalaire \( \lambda \), on a :

\[ f(u + v) = f(u) + f(v) \quad \text{et} \quad f(\lambda u) = \lambda f(u). \]

Représentation matricielle d'une application linéaire

Une application linéaire \( f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m \) peut être représentée par une matrice \( A \) de taille \( m \times n \). Si \( x \in \mathbb{R}^n \) est un vecteur, alors l'image de \( x \) par \( f \) est donnée par :

\[ f(x) = A x, \]

où \( x \) est vu comme un vecteur colonne et \( A \) est la matrice associée.

Exemple :

Soit l'application \( f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 \) définie par : \[ f\left( \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} \right) = \begin{bmatrix} 2x_1 + 3x_2 \\ 4x_1 + x_2 \end{bmatrix}. \]

La matrice associée à \( f \) est : \[ A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 1 \end{bmatrix}. \] Ainsi, pour \( x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} \), on a : \[ f(x) = A x = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2x_1 + 3x_2 \\ 4x_1 + x_2 \end{bmatrix}. \]

Composition d'applications linéaires

Si \( f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m \) et \( g : \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^p \) sont deux applications linéaires, alors la composition \( g \circ f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^p \) est aussi une application linéaire. La matrice associée à \( g \circ f \) est le produit des matrices associées \( B \) (pour \( g \)) et \( A \) (pour \( f \)) :

\[ g(f(x)) = B (A x) = (B A) x. \]

Exemple :

Soit \( f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 \) avec la matrice \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \) et \( g : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 \) avec la matrice \( B = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} \). La matrice de la composition \( g \circ f \) est donnée par :

\[ B A = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 5 \end{bmatrix}. \]

Noyau et image d'une application linéaire

• Le noyau d'une application linéaire \( f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m \) est l'ensemble des vecteurs \( x \) tels que \( f(x) = 0 \) : \[ \ker(f) = \{ x \in \mathbb{R}^n \mid f(x) = 0 \}. \]
• L'image de \( f \) est l'ensemble des vecteurs \( y \) dans \( \mathbb{R}^m \) qui sont l'image de vecteurs \( x \) dans \( \mathbb{R}^n \) : \[ \text{Im}(f) = \{ f(x) \mid x \in \mathbb{R}^n \}. \]

Si \( A \) est la matrice associée à \( f \), alors :

• \(\ker(f)\) est l'ensemble des solutions de \( A x = 0 \).
• \(\text{Im}(f)\) est l'espace engendré par les colonnes de \( A \).

Exemple :

Soit \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{bmatrix} \). Le noyau est l'ensemble des solutions de : \[ \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}. \] On trouve que \( x_1 = -2x_2 \). Donc : \[ \ker(f) = \text{Vect} \left( \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \end{bmatrix} \right). \]

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