Espaces Vectoriels de Dimension Finie

Dans ce cours, nous allons étudier les espaces vectoriels de dimension finie, leurs propriétés essentielles, et des notions fondamentales comme le rang d’un système de vecteurs, le rang d’une application linéaire, ainsi que le théorème du rang.

1. Définition d’un espace vectoriel de dimension finie

Un espace vectoriel \( E \) sur un corps \( \mathbb{K} \) (comme \( \mathbb{R} \) ou \( \mathbb{C} \)) est une structure mathématique où sont définies deux opérations : l’addition et la multiplication par un scalaire. Ces opérations satisfont certaines propriétés.

1.1 Propriétés d’un espace vectoriel

Un ensemble \( E \) muni d’une addition \( + \) et d’une multiplication par un scalaire \( \cdot \) est un espace vectoriel si les conditions suivantes sont vérifiées :

• Associativité de l’addition : \( (u + v) + w = u + (v + w) \).
• Commutativité de l’addition : \( u + v = v + u \).
• Existence de l’élément neutre : il existe un vecteur \( 0 \in E \) tel que \( u + 0 = u \).
• Existence de l’opposé : pour tout \( u \in E \), il existe \( -u \in E \) tel que \( u + (-u) = 0 \).
• Compatibilité de la multiplication scalaire : \( a \cdot (b \cdot u) = (a \cdot b) \cdot u \).
• Distributivité par rapport à l’addition dans \( E \) : \( a \cdot (u + v) = a \cdot u + a \cdot v \).
• Distributivité par rapport à l’addition des scalaires : \( (a + b) \cdot u = a \cdot u + b \cdot u \).

1.2 Dimension finie

Un espace vectoriel \( E \) est dit de dimension finie s’il possède une base composée d’un nombre fini de vecteurs. La dimension de \( E \), notée \( \dim(E) \), est alors le nombre de vecteurs de cette base.

Exemple

L’espace vectoriel \( \mathbb{R}^3 \) est de dimension 3, car une base de \( \mathbb{R}^3 \) est donnée par :

\[ \mathcal{B} = \{ (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) \}. \]

2. Rang d’un système de vecteurs

Le rang d’un système de vecteurs est une notion essentielle pour étudier les dépendances linéaires entre vecteurs. Il permet de déterminer la dimension de l’espace engendré par un ensemble de vecteurs.

2.1 Définition

Soit \( \mathcal{S} = \{ v_1, v_2, \dots, v_n \} \) un système de vecteurs dans un espace vectoriel \( E \). Le rang de \( \mathcal{S} \) est :

\[ \text{rang}(\mathcal{S}) = \dim(\text{Vect}(\mathcal{S})), \]

où \( \text{Vect}(\mathcal{S}) \) désigne l’espace vectoriel engendré par les vecteurs de \( \mathcal{S} \).

2.2 Vecteurs linéairement indépendants

Les vecteurs \( v_1, v_2, \dots, v_n \) sont dits linéairement indépendants si la seule combinaison linéaire nulle est :

\[ a_1 v_1 + a_2 v_2 + \dots + a_n v_n = 0 \implies a_1 = a_2 = \dots = a_n = 0. \]

Si une telle condition n’est pas vérifiée, alors les vecteurs sont dits linéairement dépendants.

2.3 Méthode pour déterminer le rang

Pour calculer le rang d’un système de vecteurs, on utilise généralement les étapes suivantes :

1. Placer les vecteurs sous forme de matrice.
2. Effectuer des opérations élémentaires pour réduire la matrice en forme échelonnée.
3. Compter le nombre de lignes non nulles dans la matrice réduite. Ce nombre donne le rang.

Exemple

Soit les vecteurs suivants dans \( \mathbb{R}^3 \) :

\[ v_1 = (1, 2, 3), \; v_2 = (2, 4, 6), \; v_3 = (1, 0, 1). \]

On remarque que \( v_2 \) est une combinaison linéaire de \( v_1 \) (\( v_2 = 2v_1 \)). Le rang du système est donc 2, car seuls \( v_1 \) et \( v_3 \) sont linéairement indépendants.

3. Rang d’une application linéaire

Soit \( f: E \to F \) une application linéaire. Le rang de \( f \) est défini comme la dimension de l’image de \( f \), c'est-à-dire le sous-espace de \( F \) engendré par les images des vecteurs de \( E \).

3.1 Noyau et image d’une application linéaire

Pour une application linéaire \( f \) :

• Le noyau de \( f \), noté \( \ker(f) \), est l’ensemble des vecteurs \( x \in E \) tels que \( f(x) = 0 \).
• L’image de \( f \), notée \( \text{Im}(f) \), est l’ensemble des vecteurs \( y \in F \) tels qu’il existe un \( x \in E \) avec \( f(x) = y \).

4. Théorème du rang

Le théorème du rang établit la relation suivante pour une application linéaire \( f: E \to F \) :

\[ \dim(E) = \dim(\ker(f)) + \dim(\text{Im}(f)). \]

Ce théorème montre que la dimension de l’espace de départ \( E \) est égale à la somme de la dimension de son noyau et de la dimension de son image.

4.1 Exemple d’application

Considérons l’application linéaire \( f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2 \) définie par :

\[ f(x, y, z) = (x + y, y - z). \]

En déterminant le noyau et l’image de \( f \), on peut vérifier que le théorème du rang est bien respecté.

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