Les Fonctions Primitives Cours pour 2éme Bac

Fonctions primitives - Résumé de cours


La notion de fonction primitive est essentielle en analyse, car elle permet de relier la dérivation à l'intégration. Une fonction primitive d'une fonction donnée est une fonction dont la dérivée est égale à cette fonction donnée.

En d'autres termes, si nous connaissons une fonction dont nous avons besoin de trouver la dérivée, nous pouvons déterminer cette fonction en utilisant les primitives.

Primitive d'une Fonction Continue

Définition

Soit \( f \) et \( F \) deux fonctions numériques définies sur un intervalle \( I \). On dit que \( F \) est une primitive de \( f \) sur \( I \) si :

\( F' = f \) sur \( I \).

Propriété 01

Toute fonction continue sur un intervalle \( I \) admet une fonction primitive définie sur \( I \).

Propriété 02

Si \( F \) est une fonction continue sur \( I \) alors :

  1. Si \( F \) est une primitive de \( f \) sur \( I \) alors \( F(x) = F(a) + \int_a^x f(t) \, dt \) pour tout \( x \in I \) et \( a \in I \).
  2. Pour tout \( c \in \mathbb{R} \), il existe une primitive \( G \) de \( f \) sur \( I \) telle que \( G(a) = c \).

Opérations sur les Fonctions Primitives

Propriété

Si \( F \) et \( G \) sont respectivement des primitives des fonctions \( f \) et \( g \) sur un intervalle \( I \) alors :

  • \( F + G \) est une primitive de \( f + g \) sur \( I \).
  • Pour tout \( k \in \mathbb{R} \), \( kF \) est une primitive de \( kf \) sur l'intervalle \( I \).
  • Tableau des Fonctions Primitives

    Les Primitives Usuelles

    Voici un tableau récapitulatif des primitives de quelques fonctions usuelles :

    La fonction \( f(x) \) Les primitives \( F(x) \)
    \( x \to 0 \) \( F(x) = c \quad (c \in \mathbb{R}) \)
    \( x \to ax^n \quad (a \in \mathbb{R}, n \in \mathbb{N}) \) \( F(x) = \frac{a}{n+1} x^{n+1} + c \)
    \( x \to \frac{1}{x} \quad (n \in \mathbb{N} - \{ 1 \}) \) \( F(x) = \ln |x| + c \)
    \( x \to \sqrt{x} \) \( F(x) = \frac{2}{3} x^{3/2} + c \)
    \( x \to \cos x \) \( F(x) = \sin x + c \)
    \( x \to \sin x \) \( F(x) = -\cos x + c \)
    \( x \to \frac{1}{1+x^2} \) \( F(x) = \tan^{-1}(x) + c \)
    \( u \cdot v' + u' \cdot v \) \( F = uv + c \)
    \( u \cdot v \) \( F = \int u \, dv + c \)

    Dans ce tableau, \(C\) représente une constante arbitraire, car l'ajout d'une constante à une primitive ne change pas la fonction dérivée.

    Application des Primitives : Calcul d'Intégrales

    Les primitives sont utilisées pour calculer les intégrales définies. Si \(F(x)\) est une primitive de \(f(x)\), alors l'intégrale de \(f(x)\) sur l'intervalle \([a, b]\) est donnée par :

    \( \int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a) \)

    Ceci est connu comme le théorème fondamental du calcul intégral, qui relie les concepts de dérivation et d'intégration.

    Exemples de Calculs de Primitives

    Exemple 1 : Trouver la primitive de \(f(x) = 3x^2\).

    Pour trouver la primitive de \(f(x)\), nous devons intégrer \(f(x)\). La fonction \(F(x)\) telle que \(F'(x) = 3x^2\) est :

    \( F(x) = x^3 + C \)

    Vérification : La dérivée de \(x^3 + C\) est \(3x^2\), donc c'est correct.

    Exemple 2 : Trouver une primitive de \(f(x) = \cos(x)\).

    Pour trouver la primitive de \(f(x)\), nous devons intégrer \(f(x)\). La fonction \(F(x)\) telle que \(F'(x) = \cos(x)\) est :

    \( F(x) = \sin(x) + C \)

    Vérification : La dérivée de \(\sin(x) + C\) est \(\cos(x)\), donc c'est correct.

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