La notion de fonction primitive est essentielle en analyse, car elle permet de relier la dérivation à l'intégration. Une fonction primitive d'une fonction donnée est une fonction dont la dérivée est égale à cette fonction donnée.
En d'autres termes, si nous connaissons une fonction dont nous avons besoin de trouver la dérivée, nous pouvons déterminer cette fonction en utilisant les primitives.
Primitive d'une Fonction Continue
Définition
Soit \( f \) et \( F \) deux fonctions numériques définies sur un intervalle \( I \). On dit que \( F \) est une primitive de \( f \) sur \( I \) si :
\( F' = f \) sur \( I \).
Propriété 01
Toute fonction continue sur un intervalle \( I \) admet une fonction primitive définie sur \( I \).
Propriété 02
Si \( F \) est une fonction continue sur \( I \) alors :
- Si \( F \) est une primitive de \( f \) sur \( I \) alors \( F(x) = F(a) + \int_a^x f(t) \, dt \) pour tout \( x \in I \) et \( a \in I \).
- Pour tout \( c \in \mathbb{R} \), il existe une primitive \( G \) de \( f \) sur \( I \) telle que \( G(a) = c \).
Opérations sur les Fonctions Primitives
Propriété
Si \( F \) et \( G \) sont respectivement des primitives des fonctions \( f \) et \( g \) sur un intervalle \( I \) alors :
Tableau des Fonctions Primitives
Les Primitives Usuelles
Voici un tableau récapitulatif des primitives de quelques fonctions usuelles :
La fonction \( f(x) \) | Les primitives \( F(x) \) |
---|---|
\( x \to 0 \) | \( F(x) = c \quad (c \in \mathbb{R}) \) |
\( x \to ax^n \quad (a \in \mathbb{R}, n \in \mathbb{N}) \) | \( F(x) = \frac{a}{n+1} x^{n+1} + c \) |
\( x \to \frac{1}{x} \quad (n \in \mathbb{N} - \{ 1 \}) \) | \( F(x) = \ln |x| + c \) |
\( x \to \sqrt{x} \) | \( F(x) = \frac{2}{3} x^{3/2} + c \) |
\( x \to \cos x \) | \( F(x) = \sin x + c \) |
\( x \to \sin x \) | \( F(x) = -\cos x + c \) |
\( x \to \frac{1}{1+x^2} \) | \( F(x) = \tan^{-1}(x) + c \) |
\( u \cdot v' + u' \cdot v \) | \( F = uv + c \) |
\( u \cdot v \) | \( F = \int u \, dv + c \) |
Dans ce tableau, \(C\) représente une constante arbitraire, car l'ajout d'une constante à une primitive ne change pas la fonction dérivée.
Application des Primitives : Calcul d'Intégrales
Les primitives sont utilisées pour calculer les intégrales définies. Si \(F(x)\) est une primitive de \(f(x)\), alors l'intégrale de \(f(x)\) sur l'intervalle \([a, b]\) est donnée par :
\( \int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a) \)
Ceci est connu comme le théorème fondamental du calcul intégral, qui relie les concepts de dérivation et d'intégration.
Exemples de Calculs de Primitives
Exemple 1 : Trouver la primitive de \(f(x) = 3x^2\).
Pour trouver la primitive de \(f(x)\), nous devons intégrer \(f(x)\). La fonction \(F(x)\) telle que \(F'(x) = 3x^2\) est :
\( F(x) = x^3 + C \)
Vérification : La dérivée de \(x^3 + C\) est \(3x^2\), donc c'est correct.
Exemple 2 : Trouver une primitive de \(f(x) = \cos(x)\).
Pour trouver la primitive de \(f(x)\), nous devons intégrer \(f(x)\). La fonction \(F(x)\) telle que \(F'(x) = \cos(x)\) est :
\( F(x) = \sin(x) + C \)
Vérification : La dérivée de \(\sin(x) + C\) est \(\cos(x)\), donc c'est correct.
Primitive d'une fonction pdf
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