1.Élements d'un vecteur et égalité de deux vecteurs
Élements d'un vecteur
Définition
Soient \(A\) et \(B\) deux points distincts du plan \((P)\). On considère le vecteur \(\overrightarrow{AB}\).
Remarque
Le vecteur nul \(\overrightarrow{0}\) n'a pas de direction, pas de sens, et \(\|\overrightarrow{0}\| = 0\).
Égalité de Vecteurs
Définition
Deux vecteurs non nuls sont égaux s'ils ont la même direction, le même sens, et la même norme.
Exemple
Soit un parallélogramme \(ABCD\), alors \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\).
Opérations dans l'ensemble des vecteus de plan
Addition
Définition
Soient \(\overrightarrow{U}\) et \(\overrightarrow{V}\) deux vecteurs du plan \((P)\). La somme des vecteurs \(\overrightarrow{U}\) et \(\overrightarrow{V}\) est le vecteur \(\overrightarrow{W}\) tel que :
\(\overrightarrow{U} + \overrightarrow{V} = \overrightarrow{W}\)
Remarque
Soient \(A\), \(B\), \(C\) des points du plan \((P)\). On a :
\(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}\) (Relation de Chasles)
Propriété
Soient \(A\), \(B\), \(C\) trois points quelconques du plan. La somme des vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) est le vecteur \(\overrightarrow{AD}\) tel que \(D\) est le point tel que \(ABCD\) est un parallélogramme :
\(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AD}\)
Multiplication d'un Vecteur par un Scalaire
Définition
Soit \(\overrightarrow{u}\) un vecteur et \(\lambda\) un nombre réel. Le produit de \(\overrightarrow{u}\) par \(\lambda\) est le vecteur noté \(\lambda\overrightarrow{u}\) tel que :
Propriété
Remarque
Si on multiplie un vecteur par \(-1\), on obtient l'opposé du vecteur. Exemple : Si \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{u}\) alors \(-\overrightarrow{AB} = -1 \cdot \overrightarrow{u}\).
Application
Soit \(ABCD\) un parallélogramme. Prouver que les points du plan tels que \(T \rightarrow \overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{AD}\) et \(D \rightarrow -2\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}\) sont symétriques par rapport à \(B\).
Vecteurs Colinéaires
Définition
Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement s'ils ont la même direction ou s'ils sont nuls.
Propriété
Soient \(A\), \(B\), \(C\) trois points distincts du plan. On dit que les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont colinéaires s'il existe un réel \(k\) tel que :
\(\overrightarrow{AB} = k \cdot \overrightarrow{AC}\)
Cela signifie que les droites \((AB)\) et \((AC)\) sont parallèles ou confondues.
Milieu d'un Segment
Soient \(A\), \(B\), \(C\) trois points distincts du plan. On dit que le point \(C\) est le milieu du segment \([AB]\), c'est-à-dire que :
\(\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{CB}\)
Application
Soient \(A(-1, 2)\), \(B(3, -4)\) et \(T\) le milieu de \([AB]\). Montrer que :
\(\overrightarrow{AT} + \overrightarrow{TB} = 0\)
Correction :\(T\) est le milieu de \([AB]\) donc \(AT = TB = \frac{AB}{2}\)
\(AT_x = TB_x = \frac{AB_x}{2}\), \(AT_y = TB_y = \frac{AB_y}{2}\)
Donc \(\overrightarrow{AT} + \overrightarrow{TB} = 0\)
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