Triangles isométriques
Deux triangles sont dits congruents lorsque chacun de leurs côtés et de leurs angles homologues présentent une parfaite égalité.
Théorèmes primordiaux
Critère CCC (Côté-Côté-Côté)
Si les trois côtés d’un triangle correspondent respectivement à ceux d’un autre triangle, alors ces figures sont congruentes.
Exemple : Si \( AB = EF \), \( BC = FG \), et \( AC = EG \), alors \( \triangle ABC \cong \triangle EFG \).
Si les trois côtés d’un triangle correspondent respectivement à ceux d’un autre triangle, alors ces figures sont congruentes.
Exemple : Si \( AB = EF \), \( BC = FG \), et \( AC = EG \), alors \( \triangle ABC \cong \triangle EFG \).
Critère CAC (Côté-Angle-Côté)
Si deux côtés accompagnés de l’angle compris sont équivalents à ceux d’un autre triangle, les deux figures sont donc congruentes.
Exemple : Si \( AB = EF \), \( \angle BAC = \angle EFG \), et \( AC = FG \), alors \( \triangle ABC \cong \triangle EFG \).
Si deux côtés accompagnés de l’angle compris sont équivalents à ceux d’un autre triangle, les deux figures sont donc congruentes.
Exemple : Si \( AB = EF \), \( \angle BAC = \angle EFG \), et \( AC = FG \), alors \( \triangle ABC \cong \triangle EFG \).
Critère ACA (Angle-Côté-Angle)
Si deux angles encadrant un côté sont respectivement identiques à ceux d’un second triangle, alors une congruence s’impose.
Exemple : Si \( \angle ABC = \angle EFG \), \( BC = FG \), et \( \angle BCA = \angle FGE \), alors \( \triangle ABC \cong \triangle EFG \).
Si deux angles encadrant un côté sont respectivement identiques à ceux d’un second triangle, alors une congruence s’impose.
Exemple : Si \( \angle ABC = \angle EFG \), \( BC = FG \), et \( \angle BCA = \angle FGE \), alors \( \triangle ABC \cong \triangle EFG \).
Applications concrètes
Cas 1 : Triangles ayant trois côtés équivalents
Si \( \triangle ABC \) et \( \triangle EFG \) satisfont les relations suivantes :
\( AB = EF \), \( BC = FG \), \( CA = GE \), alors ils sont congruents selon le critère CCC.
Si \( \triangle ABC \) et \( \triangle EFG \) satisfont les relations suivantes :
\( AB = EF \), \( BC = FG \), \( CA = GE \), alors ils sont congruents selon le critère CCC.
Cas 2 : Triangles partageant un angle et deux côtés identiques
Si \( AB = EF \), \( \angle ABC = \angle EFG \), \( BC = FG \), on conclut à la congruence par le critère CAC.
Si \( AB = EF \), \( \angle ABC = \angle EFG \), \( BC = FG \), on conclut à la congruence par le critère CAC.
Cas 3 : Triangles avec deux angles et un côté commun
Si \( \angle BAC = \angle EFG \), \( \angle ABC = \angle EGF \), et \( AB = EF \), alors ils sont congruents selon le critère ACA.
Si \( \angle BAC = \angle EFG \), \( \angle ABC = \angle EGF \), et \( AB = EF \), alors ils sont congruents selon le critère ACA.
Embûches à déjouer
- Un angle semblable ne suffit point si les côtés correspondants n’adoptent pas la même mesure.
- Dans les critères CAC et ACA, l’ordre des éléments est capital : l’angle doit impérativement être encadré par les deux côtés mentionnés.
Triangles semblables
Deux triangles sont dits semblables lorsqu’ils exhibent des angles correspondants égaux deux à deux, accompagnés de côtés homologues dans un rapport constant.
Définition formelle
Les triangles \( \triangle ABC \) et \( \triangle EFG \) sont semblables si :
- \( \angle A = \angle E \), \( \angle B = \angle F \), \( \angle C = \angle G \)
- Et \( \dfrac{AB}{EF} = \dfrac{BC}{FG} = \dfrac{AC}{EG} = k \), où \( k \) désigne le rapport de similitude.
Propriétés fondamentales
Rapport de similitude
Si \( \triangle ABC \sim \triangle EFG \), alors :
\( \dfrac{AB}{EF} = \dfrac{BC}{FG} = \dfrac{AC}{EG} = k \).
Si \( k > 1 \), alors \( \triangle ABC \) est une expansion de \( \triangle EFG \).
Si \( k < 1 \), il s’agit d’une réduction.
Si \( \triangle ABC \sim \triangle EFG \), alors :
\( \dfrac{AB}{EF} = \dfrac{BC}{FG} = \dfrac{AC}{EG} = k \).
Si \( k > 1 \), alors \( \triangle ABC \) est une expansion de \( \triangle EFG \).
Si \( k < 1 \), il s’agit d’une réduction.
Critère AA (Angle-Angle)
Si deux angles dans un triangle correspondent exactement à deux angles d’un autre triangle, alors ceux-ci sont semblables.
Exemple : Si \( \angle A = \angle E \) et \( \angle B = \angle F \), alors \( \triangle ABC \sim \triangle EFG \).
Si deux angles dans un triangle correspondent exactement à deux angles d’un autre triangle, alors ceux-ci sont semblables.
Exemple : Si \( \angle A = \angle E \) et \( \angle B = \angle F \), alors \( \triangle ABC \sim \triangle EFG \).
Cas dignes d’intérêt
- Triangles isométriques : lorsque \( k = 1 \), les triangles sont à la fois semblables et congruents.
- Triangles équiangles : si tous les angles sont égaux à \( 60^\circ \), comme c’est le cas pour les triangles équilatéraux, alors la similitude est assurée.
Approche trigonométrique
Pour deux triangles partageant un angle commun \( \theta \), la relation suivante demeure inchangée :
\( \cos(\theta) = \dfrac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}} \)
Ce rapport conserve la même valeur dans les deux triangles, traduisant leur parfaite homothétie angulaire.
Enregistrer un commentaire