Réduction des Endomorphismes et Applications

Question fondamentale: Comment simplifier les calculs complexes avec des matrices de grande dimension? La réduction des endomorphismes est la clé qui transforme des problèmes mathématiques intimidants en calculs élégants et efficaces.

Introduction à la Réduction des Endomorphismes

La réduction des endomorphismes est l'une des techniques les plus puissantes de l'algèbre linéaire avancée. Cette méthode permet de transformer des matrices complexes en formes plus simples, facilitant ainsi une multitude de calculs qui seraient autrement fastidieux ou impossibles à réaliser à la main.

Imaginez que vous devez calculer la 100ème puissance d'une matrice 5×5, ou résoudre un système de 10 équations différentielles couplées. Sans les techniques de réduction, ces problèmes nécessiteraient des calculs monumentaux. Avec la réduction des endomorphismes, ils deviennent non seulement faisables, mais élégants.

Pourquoi la Réduction des Endomorphismes est-elle Cruciale?

Cette technique mathématique trouve ses applications dans de nombreux domaines:

• Physique quantique: Diagonalisation des opérateurs hamiltoniens
• Ingénierie: Analyse des systèmes dynamiques
• Économie: Modélisation des systèmes économiques complexes
• Informatique: Algorithmes d'optimisation et apprentissage automatique
• Biologie: Modélisation de la dynamique des populations

La réduction des endomorphismes simplifie le traitement des matrices complexes. Elle est particulièrement utile pour :

• Calculer les puissances \( A^n \) d'une matrice.
• Déterminer l'exponentielle \( e^A \) d'une matrice.
• Résoudre des systèmes d'équations différentielles linéaires.
• Étudier les suites récurrentes matricielles.

Prérequis Mathématiques

Avant d'aborder la réduction des endomorphismes, assurez-vous de maîtriser les concepts suivants:

Concepts Fondamentaux Requis:

• Algèbre linéaire de base: Opérations matricielles, déterminants, inverse
• Espaces vectoriels: Base, dimension, sous-espaces
• Valeurs et vecteurs propres: Calcul et interprétation géométrique
• Diagonalisation: Conditions de diagonalisabilité
• Polynômes: Polynôme caractéristique et minimal
• Équations différentielles: Notions de base

💡 Conseil d'Étude

Si vous n'êtes pas à l'aise avec l'un de ces concepts, nous recommandons de réviser ces bases avant de poursuivre. La compréhension de la réduction des endomorphismes repose fortement sur ces fondations mathématiques.

Concepts Clés et Définitions

Qu'est-ce qu'un Endomorphisme?

Un endomorphisme est une application linéaire d'un espace vectoriel vers lui-même. En termes matriciels, c'est une matrice carrée qui transforme un vecteur de l'espace en un autre vecteur du même espace.

La Forme de Jordan: Le Cœur de la Réduction

La forme de Jordan est une forme canonique vers laquelle toute matrice peut être transformée. Elle généralise la diagonalisation pour les matrices non-diagonalisables. Une matrice en forme de Jordan est constituée de blocs de Jordan disposés le long de la diagonale principale.

Structure d'un Bloc de Jordan

Un bloc de Jordan \( J_k(\lambda) \) de taille \( k \) associé à la valeur propre \( \lambda \) a la structure suivante:

\[ J_k(\lambda) = \begin{pmatrix} \lambda & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda & 1 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \lambda & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \lambda \end{pmatrix} \]

Notez la structure particulière: la valeur propre \( \lambda \) sur la diagonale principale et des 1 sur la sur-diagonale.

Théorème Fondamental de la Réduction de Jordan

Toute matrice carrée \( A \) sur le corps des nombres complexes est semblable à une matrice de Jordan unique (à l'ordre des blocs près). Cela signifie qu'il existe une matrice inversible \( P \) telle que:

\[ A = PJP^{-1} \]

où \( J \) est la forme de Jordan de \( A \).

Calcul des Puissances de Matrices

Le calcul des puissances d'une matrice \( A \) peut être simplifié si \( A \) est mise sous forme de Jordan. Supposons que \( A \) est semblable à une matrice de Jordan \( J \), c'est-à-dire :

\[ A = PJP^{-1}, \]

où \( P \) est une matrice inversible et \( J \) est la forme de Jordan de \( A \). Alors, pour \( n \in \mathbb{N} \), on a :

\[ A^n = P J^n P^{-1}. \]

Puissance d'un Bloc de Jordan

Un bloc de Jordan \( J_k(\lambda) \) associé à une valeur propre \( \lambda \) est de la forme :

\[ J_k(\lambda) = \begin{pmatrix} \lambda & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda & 1 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \lambda & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \lambda \end{pmatrix}. \]

La puissance \( n \)-ième d'un tel bloc est donnée par :

\[ J_k(\lambda)^n = \begin{pmatrix} \lambda^n & \binom{n}{1}\lambda^{n-1} & \binom{n}{2}\lambda^{n-2} & \cdots & \binom{n}{k-1}\lambda^{n-k+1} \\ 0 & \lambda^n & \binom{n}{1}\lambda^{n-1} & \cdots & \binom{n}{k-2}\lambda^{n-k+2} \\ 0 & 0 & \lambda^n & \cdots & \binom{n}{k-3}\lambda^{n-k+3} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \lambda^n \end{pmatrix}. \]

Les coefficients hors diagonale dépendent des coefficients binomiaux et de la puissance de \( \lambda \).

Classification du Comportement Asymptotique

1 Si toutes les valeurs propres ont une partie réelle négative: Le système est asymptotiquement stable (converge vers 0).

2 Si au moins une valeur propre a une partie réelle positive: Le système est instable (diverge).

3 Si certaines valeurs propres ont une partie réelle nulle: Le comportement dépend de la taille des blocs de Jordan correspondants.

Exemple Détaillé: Système 2×2

Résolvons le système suivant :

\[ \frac{d\mathbf{x}}{dt} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \mathbf{x}. \]

La forme de Jordan est déjà donnée. L'exponentielle matricielle est :

\[ e^{At} = \begin{pmatrix} e^{2t} & te^{2t} \\ 0 & e^{2t} \end{pmatrix}. \]

La solution générale est donc :

\[ \mathbf{x}(t) = \begin{pmatrix} e^{2t} & te^{2t} \\ 0 & e^{2t} \end{pmatrix} \mathbf{x}(0). \]

Interprétation du Résultat

Si \( \mathbf{x}(0) = \begin{pmatrix} x_0 \\ y_0 \end{pmatrix} \), alors:

• \( x(t) = (x_0 + y_0 t)e^{2t} \)
• \( y(t) = y_0 e^{2t} \)

Notez la croissance polynomiale-exponentielle de \( x(t) \) due au terme \( te^{2t} \), caractéristique des blocs de Jordan non-triviaux.

Applications Pratiques en Ingénierie

Circuits Électriques

Analyse de circuits RLC couplés, où les équations de Kirchhoff donnent des systèmes différentiels linéaires.

Mécanique des Structures

Vibrations de systèmes mécaniques multi-degrés de liberté, modélisées par des équations du second ordre réduites en systèmes du premier ordre.

Dynamique des Populations

Modèles de Lotka-Volterra et leurs extensions pour étudier les interactions prédateur-proie.

Étude des Suites Récurrentes

Les suites récurrentes linéaires constituent un autre domaine d'application majeur de la réduction des endomorphismes. Cette approche transforme des problèmes de récurrence complexes en calculs matriciels élégants.

Une suite récurrente linéaire d'ordre \( n \) peut être représentée sous forme matricielle. Considérons une suite récurrente définie par :

\[ \mathbf{u}_{k+1} = A\mathbf{u}_k, \]

où \( \mathbf{u}_k \) est un vecteur colonne représentant les termes successifs de la suite, et \( A \) est une matrice carrée.

Expression Générale de \( \mathbf{u}_k \)

Par récurrence, on obtient :

\[ \mathbf{u}_k = A^k \mathbf{u}_0, \]

où \( \mathbf{u}_0 \) est le vecteur initial.

💡 Avantage de l'Approche Matricielle

Cette formulation permet d'utiliser toute la puissance de l'algèbre linéaire pour analyser le comportement des suites récurrentes, notamment leur convergence, leur périodicité, et leur croissance asymptotique.

Utilisation de la Réduction de Jordan

Si \( A = PJP^{-1} \), alors :

\[ A^k = P J^k P^{-1}. \]

Chaque bloc de Jordan \( J_k(\lambda) \) a sa puissance donnée par :

\[ J_k(\lambda)^n = \begin{pmatrix} \lambda^n & \binom{n}{1}\lambda^{n-1} & \binom{n}{2}\lambda^{n-2} & \cdots & \binom{n}{k-1}\lambda^{n-k+1} \\ 0 & \lambda^n & \binom{n}{1}\lambda^{n-1} & \cdots & \binom{n}{k-2}\lambda^{n-k+2} \\ 0 & 0 & \lambda^n & \cdots & \binom{n}{k-3}\lambda^{n-k+3} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \lambda^n \end{pmatrix}. \]

Exemple Concret: Suite Récurrente Couplée

Considérons la suite récurrente suivante :

\[ u_{k+1} = 2u_k + 3v_k, \quad v_{k+1} = u_k + 4v_k. \]

Elle peut être représentée sous forme matricielle :

\[ \mathbf{u}_{k+1} = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{pmatrix} \mathbf{u}_k. \]

Résolution Étape par Étape

1 Calcul du polynôme caractéristique:
\( \det(A - \lambda I) = (2-\lambda)(4-\lambda) - 3 = \lambda^2 - 6\lambda + 5 = (\lambda-1)(\lambda-5) \)

2 Valeurs propres: \( \lambda_1 = 1 \) et \( \lambda_2 = 5 \)

3 Vérification de la diagonalisabilité: Deux valeurs propres distinctes ⟹ matrice diagonalisable

4 Solution générale: Les termes de la suite auront une forme \( u_k = c_1 \cdot 1^k + c_2 \cdot 5^k = c_1 + c_2 \cdot 5^k \)

La solution générale est donnée par :

\[ \mathbf{u}_k = A^k \mathbf{u}_0, \]

où \( A \) est mise sous forme de Jordan pour simplifier le calcul de \( A^k \).

Analyse du Comportement Asymptotique des Suites

⚠️ Critères de Convergence

• Convergence: Si toutes les valeurs propres vérifient \( |\lambda| < 1 \)
• Divergence: Si au moins une valeur propre vérifie \( |\lambda| > 1 \)
• Cas limite: Si \( |\lambda| = 1 \), le comportement dépend de la multiplicité et de la forme de Jordan

Applications des Suites Récurrentes

Économie et Finance

Modélisation de l'évolution des prix, des taux d'intérêt, et des marchés financiers avec des modèles auto-régressifs.

Informatique Théorique

Analyse d'algorithmes récursifs, complexité temporelle, et génération de nombres pseudo-aléatoires.

Biologie Mathématique

Modèles de croissance de populations avec interactions inter-espèces et effets retardés.

Applications Avancées

Au-delà des applications classiques, la réduction des endomorphismes trouve de nombreuses utilisations dans des domaines avancés des mathématiques et de la physique.

Théorie Spectrale et Opérateurs

En analyse fonctionnelle, la réduction des endomorphismes s'étend à l'étude des opérateurs linéaires sur des espaces de dimension infinie. Les concepts de spectre, de résolvante, et de calcul fonctionnel généralisent les notions de valeurs propres et de réduction de Jordan.

Mécanique Quantique et Physique Mathématique

Diagonalisation d'Hamiltoniens

En mécanique quantique, les observables sont représentées par des opérateurs hermitiens. La diagonalisation de l'hamiltonien d'un système permet de:

• Déterminer les niveaux d'énergie (valeurs propres)
• Trouver les états propres correspondants
• Calculer l'évolution temporelle du système

Théorie des Groupes et Représentations

La réduction des représentations de groupes utilise des techniques similaires à la réduction de Jordan. Cette approche est fondamentale en:

• Cristallographie: Classification des structures cristallines
• Chimie quantique: Analyse des orbitales moléculaires
• Physique des particules: Classification des particules élémentaires

Analyse Numérique et Calcul Scientifique

💡 Considérations Numériques

En pratique, la réduction de Jordan pose des défis numériques importants:

• La forme de Jordan est instable numériquement
• On préfère souvent la décomposition de Schur
• Les méthodes itératives (Krylov, Arnoldi) sont privilégiées pour les grandes matrices

Applications

• Résolution des systèmes linéaires d'équations différentielles.
• Étude des suites récurrentes d'ordre supérieur.
• Analyse des comportements asymptotiques de suites et systèmes.
• Optimisation et recherche opérationnelle pour l'analyse de stabilité.
• Traitement du signal et analyse fréquentielle.
• Intelligence artificielle et réseaux de neurones récurrents.

Erreurs Communes et Comment les Éviter

🚫 Erreurs Fréquentes des Étudiants

1. Confusion entre Diagonalisation et Réduction de Jordan

Erreur: Supposer que toute matrice est diagonalisable.

Correction: Une matrice n'est diagonalisable que si la multiplicité algébrique égale la multiplicité géométrique pour chaque valeur propre.

2. Mauvais Calcul des Puissances de Blocs de Jordan

Erreur: Oublier les coefficients binomiaux dans la formule de \( J_k(\lambda)^n \).

Correction: Se rappeler que le coefficient en position \( (i,j) \) est \( \binom{n}{j-i}\lambda^{n-(j-i)} \).

3. Erreurs dans le Calcul de l'Exponentielle

Erreur: Appliquer \( e^{A+B} = e^A e^B \) sans vérifier que \( A \) et \( B \) commutent.

Correction: Cette propriété n'est valable que si \( AB = BA \).

4. Interprétation Incorrecte du Comportement Asymptotique

Erreur: Ignorer l'effet des blocs de Jordan de taille > 1 sur la stabilité.

Correction: Même si \( |\lambda| < 1 \), un bloc de Jordan peut donner une décroissance polynomiale plutôt qu'exponentielle.

💡 Conseils pour Éviter les Erreurs

• Vérifiez toujours vos calculs: Utilisez des logiciels comme Mathematica ou Python/NumPy pour confirmer vos résultats
• Dessinez des schémas: Visualisez la structure des blocs de Jordan
• Testez sur des exemples simples: Commencez par des matrices 2×2 avant d'aborder des cas plus complexes
• Comprenez la géométrie: Chaque bloc de Jordan correspond à une chaîne de vecteurs généralisés

Questions Fréquemment Posées

Quelle est la différence entre diagonalisation et réduction de Jordan?

La diagonalisation est un cas particulier de la réduction de Jordan. Une matrice est diagonalisable si elle peut s'écrire \( A = PDP^{-1} \) où \( D \) est diagonale. La réduction de Jordan, plus générale, s'applique à toutes les matrices et utilise des blocs de Jordan qui peuvent avoir des 1 sur la sur-diagonale.

Comment déterminer si une matrice est diagonalisable?

Une matrice est diagonalisable si et seulement si, pour chaque valeur propre \( \lambda \), la multiplicité algébrique (ordre de \( \lambda \) comme racine du polynôme caractéristique) égale la multiplicité géométrique (dimension de l'espace propre associé à \( \lambda \)).

Pourquoi utilise-t-on la forme de Jordan plutôt que d'autres formes canoniques?

La forme de Jordan est particulièrement utile car elle:

• Existe pour toute matrice complexe
• Préserve les valeurs propres sur la diagonale
• Facilite le calcul des puissances et de l'exponentielle
• Révèle la structure géométrique de l'endomorphisme

Comment calculer pratiquement la forme de Jordan d'une matrice?

Le processus comprend plusieurs étapes:

1. Calculer le polynôme caractéristique et trouver les valeurs propres
2. Pour chaque valeur propre, déterminer sa multiplicité algébrique et géométrique
3. Construire les chaînes de vecteurs généralisés
4. Former la matrice de passage et la forme de Jordan

En pratique, on utilise souvent des logiciels de calcul symbolique pour éviter les erreurs de calcul.

Quelles sont les limites de la réduction de Jordan en calcul numérique?

La forme de Jordan présente plusieurs inconvénients numériques:

• Instabilité: De petites perturbations peuvent changer drastiquement la forme de Jordan
• Précision: Les calculs en virgule flottante peuvent masquer la vraie structure
• Alternatives: On préfère souvent la décomposition de Schur ou les méthodes itératives

Comment la réduction des endomorphismes s'applique-t-elle en intelligence artificielle?

Les applications en IA incluent:

• Réseaux de neurones récurrents: Analyse de la stabilité et du gradient vanishing
• Analyse en composantes principales (PCA): Réduction de dimension par diagonalisation
• Systèmes dynamiques: Modélisation de l'évolution temporelle des états
• Théorie spectrale des graphes: Analyse des réseaux et clustering

Conclusion et Perspectives

La réduction des endomorphismes représente l'un des outils les plus puissants et élégants de l'algèbre linéaire moderne. Nous avons exploré comment cette technique transforme des problèmes complexes en calculs accessibles, révélant la structure profonde des transformations linéaires.

🎯 Points Clés à Retenir

• La forme de Jordan généralise la diagonalisation à toutes les matrices
• Elle simplifie drastiquement le calcul des puissances et exponentielles matricielles
• Elle est indispensable pour résoudre les systèmes différentiels et les suites récurrentes
• Elle révèle le comportement asymptotique des systèmes dynamiques
• Elle trouve des applications dans de nombreux domaines scientifiques

Pour Aller Plus Loin

Les étudiants souhaitant approfondir leurs connaissances peuvent explorer:

• Analyse fonctionnelle: Extension aux espaces de dimension infinie
• Théorie spectrale: Calcul fonctionnel et opérateurs normaux
• Géométrie différentielle: Champs de vecteurs et flots
• Théorie des systèmes: Contrôlabilité et observabilité
• Méthodes numériques: Algorithmes de calcul effectif

Ressources Recommandées

Logiciels de Calcul

• Mathematica / Wolfram Alpha
• Python (NumPy, SciPy, SymPy)
• MATLAB
• GNU Octave (alternative libre)

Références Académiques

• Cours d'algèbre linéaire avancée
• Manuels de théorie spectrale
• Articles de recherche en mathématiques appliquées
• Ressources en ligne (Khan Academy, 3Blue1Brown)

La maîtrise de la réduction des endomorphismes ouvre la porte à une compréhension profonde des mathématiques appliquées et constitue un fondement essentiel pour toute carrière scientifique ou technique avancée.

Méthode Pas à Pas pour Calculer les Puissances

1 Trouver la forme de Jordan: Calculer les valeurs propres et déterminer la structure des blocs de Jordan.

2 Construire la matrice de passage: Déterminer la matrice \( P \) qui diagonalise ou "jordanise" \( A \).

3 Calculer la puissance de Jordan: Utiliser la formule pour chaque bloc.

4 Revenir à la matrice originale: Appliquer \( A^n = P J^n P^{-1} \).

Exemple Détaillé: Calcul de \( A^3 \)

Soit la matrice triangulaire supérieure suivante :

\[ A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}. \]

Sa forme de Jordan est :

\[ J = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}. \]

La puissance \( A^3 \) est donnée par :

\[ J^3 = \begin{pmatrix} 2^3 & 3 \cdot 2^2 & 3 \cdot 2 \\ 0 & 2^3 & 3 \cdot 2^2 \\ 0 & 0 & 2^3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 & 12 & 6 \\ 0 & 8 & 12 \\ 0 & 0 & 8 \end{pmatrix}. \]

💡 Astuce de Calcul

Pour un bloc de Jordan de taille \( k \), le coefficient à la position \( (i,j) \) avec \( i \leq j \) dans \( J_k(\lambda)^n \) est donné par \( \binom{n}{j-i}\lambda^{n-(j-i)} \) si \( j-i < k \), et 0 sinon.

Calcul de l'Exponentielle d'une Matrice

L'exponentielle d'une matrice \( A \) est définie par la série de Taylor suivante :

\[ e^A = \sum_{k=0}^\infty \frac{A^k}{k!}. \]

Cette définition, bien que théoriquement correcte, n'est pas pratique pour les calculs. Heureusement, la réduction de Jordan offre une approche beaucoup plus efficace.

Lorsque \( A \) est mise sous forme de Jordan \( A = PJP^{-1} \), on a :

\[ e^A = P e^J P^{-1}. \]

⚠️ Attention Importante

Cette propriété \( e^{PJP^{-1}} = Pe^JP^{-1} \) est spécifique aux exponentielles matricielles et ne s'applique pas à toutes les fonctions de matrices. Elle découle du fait que la série de Taylor de l'exponentielle converge pour toute matrice.

Exponentielle d'un Bloc de Jordan

Pour un bloc de Jordan \( J_k(\lambda) \), l'exponentielle est donnée par :

\[ e^{J_k(\lambda)} = e^\lambda \begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{1!} & \frac{1}{2!} & \cdots & \frac{1}{(k-1)!} \\ 0 & 1 & \frac{1}{1!} & \cdots & \frac{1}{(k-2)!} \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & \frac{1}{(k-3)!} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}. \]

Démonstration Intuitive

Un bloc de Jordan peut s'écrire comme \( J_k(\lambda) = \lambda I + N \), où \( N \) est une matrice nilpotente (avec des 1 sur la sur-diagonale). Puisque \( N \) et \( \lambda I \) commutent, on peut utiliser la propriété \( e^{A+B} = e^A e^B \) quand \( AB = BA \).

Ainsi: \( e^{J_k(\lambda)} = e^{\lambda I} e^N = e^\lambda e^N \)

L'exponentielle de \( N \) se calcule facilement car \( N^k = 0 \), donc la série s'arrête après un nombre fini de termes.

Exemple d'Application: Exponentielle d'une Matrice 3×3

Soit la matrice \( A \) donnée précédemment. Son exponentielle est calculée comme suit :

\[ e^J = \begin{pmatrix} e^2 & e^2 & \frac{1}{2}e^2 \\ 0 & e^2 & e^2 \\ 0 & 0 & e^2 \end{pmatrix}. \]

Applications de l'Exponentielle Matricielle

Systèmes Dynamiques

L'exponentielle matricielle décrit l'évolution temporelle des systèmes linéaires: \( x(t) = e^{At}x(0) \)

Mécanique Quantique

L'évolution unitaire des états quantiques est donnée par \( |\psi(t)\rangle = e^{-i\hat{H}t/\hbar}|\psi(0)\rangle \)

Théorie des Groupes de Lie

L'application exponentielle relie l'algèbre de Lie au groupe de Lie correspondant

Résolution de Systèmes d'Équations Différentielles

La résolution de systèmes d'équations différentielles linéaires représente l'une des applications les plus importantes de la réduction des endomorphismes. Ces systèmes apparaissent naturellement dans de nombreux domaines scientifiques.

Considérons un système d'équations différentielles linéaires de la forme :

\[ \frac{d\mathbf{x}}{dt} = A\mathbf{x}, \]

où \( \mathbf{x}(t) \) est un vecteur colonne de dimension \( n \) et \( A \) est une matrice \( n \times n \).

Solution Générale

La solution générale de ce système est donnée par :

\[ \mathbf{x}(t) = e^{At}\mathbf{x}(0), \]

où \( e^{At} \) est l'exponentielle matricielle associée à \( A \).

💡 Interprétation Physique

Cette solution montre que l'état du système à l'instant \( t \) est obtenu en appliquant l'opérateur d'évolution \( e^{At} \) à l'état initial \( \mathbf{x}(0) \). C'est exactement l'analogue matriciel de la solution \( x(t) = e^{at}x(0) \) pour l'équation scalaire \( \frac{dx}{dt} = ax \).

Calcul de \( e^{At} \) avec la Réduction de Jordan

Si \( A \) est mise sous forme de Jordan, c'est-à-dire \( A = PJP^{-1} \), alors :

\[ e^{At} = P e^{Jt} P^{-1}. \]

L'exponentielle de chaque bloc de Jordan \( J_k(\lambda) \) est donnée par :

\[ e^{J_k(\lambda)t} = e^{\lambda t} \begin{pmatrix} 1 & t & \frac{t^2}{2!} & \cdots & \frac{t^{k-1}}{(k-1)!} \\ 0 & 1 & t & \cdots & \frac{t^{k-2}}{(k-2)!} \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & \frac{t^{k-3}}{(k-3)!} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}. \]