La réduction des endomorphismes simplifie le traitement des matrices complexes. Elle est particulièrement utile pour :
- Calculer les puissances \( A^n \) d'une matrice.
- Déterminer l'exponentielle \( e^A \) d'une matrice.
- Résoudre des systèmes d'équations différentielles linéaires.
- Étudier les suites récurrentes matricielles.
Calcul des Puissances de Matrices
Le calcul des puissances d'une matrice \( A \) peut être simplifié si \( A \) est mise sous forme de Jordan. Supposons que \( A \) est semblable à une matrice de Jordan \( J \), c'est-à-dire :
\[ A = PJP^{-1}, \]
où \( P \) est une matrice inversible et \( J \) est la forme de Jordan de \( A \). Alors, pour \( n \in \mathbb{N} \), on a :
\[ A^n = P J^n P^{-1}. \]
Puissance d'un Bloc de Jordan
Un bloc de Jordan \( J_k(\lambda) \) associé à une valeur propre \( \lambda \) est de la forme :
\[ J_k(\lambda) = \begin{pmatrix} \lambda & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda & 1 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \lambda & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \lambda \end{pmatrix}. \]
La puissance \( n \)-ième d'un tel bloc est donnée par :
\[ J_k(\lambda)^n = \begin{pmatrix} \lambda^n & \binom{n}{1}\lambda^{n-1} & \binom{n}{2}\lambda^{n-2} & \cdots & \binom{n}{k-1}\lambda^{n-k+1} \\ 0 & \lambda^n & \binom{n}{1}\lambda^{n-1} & \cdots & \binom{n}{k-2}\lambda^{n-k+2} \\ 0 & 0 & \lambda^n & \cdots & \binom{n}{k-3}\lambda^{n-k+3} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \lambda^n \end{pmatrix}. \]
Les coefficients hors diagonale dépendent des coefficients binomiaux et de la puissance de \( \lambda \).
Exemple :
Soit la matrice triangulaire supérieure suivante :
\[ A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}. \]
Sa forme de Jordan est :
\[ J = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}. \]
La puissance \( A^3 \) est donnée par :
\[ J^3 = \begin{pmatrix} 2^3 & 3 \cdot 2^2 & 3 \cdot 2 \\ 0 & 2^3 & 3 \cdot 2^2 \\ 0 & 0 & 2^3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 & 12 & 6 \\ 0 & 8 & 12 \\ 0 & 0 & 8 \end{pmatrix}. \]
Calcul de l'Exponentielle d'une Matrice
L'exponentielle d'une matrice \( A \) est définie par la série de Taylor suivante :
\[ e^A = \sum_{k=0}^\infty \frac{A^k}{k!}. \]
Lorsque \( A \) est mise sous forme de Jordan \( A = PJP^{-1} \), on a :
\[ e^A = P e^J P^{-1}. \]
Exponentielle d'un Bloc de Jordan
Pour un bloc de Jordan \( J_k(\lambda) \), l'exponentielle est donnée par :
\[ e^{J_k(\lambda)} = e^\lambda \begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{1!} & \frac{1}{2!} & \cdots & \frac{1}{(k-1)!} \\ 0 & 1 & \frac{1}{1!} & \cdots & \frac{1}{(k-2)!} \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & \frac{1}{(k-3)!} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}. \]
Exemple :
Soit la matrice \( A \) donnée précédemment. Son exponentielle est calculée comme suit :
\[ e^J = \begin{pmatrix} e^2 & e^2 & \frac{1}{2}e^2 \\ 0 & e^2 & e^2 \\ 0 & 0 & e^2 \end{pmatrix}. \]
Résolution de Systèmes d'Équations Différentielles
Considérons un système d'équations différentielles linéaires de la forme :
\[ \frac{d\mathbf{x}}{dt} = A\mathbf{x}, \]
où \( \mathbf{x}(t) \) est un vecteur colonne de dimension \( n \) et \( A \) est une matrice \( n \times n \).
Solution Générale
La solution générale de ce système est donnée par :
\[ \mathbf{x}(t) = e^{At}\mathbf{x}(0), \]
où \( e^{At} \) est l'exponentielle matricielle associée à \( A \).
Calcul de \( e^{At} \) avec la Réduction de Jordan
Si \( A \) est mise sous forme de Jordan, c'est-à-dire \( A = PJP^{-1} \), alors :
\[ e^{At} = P e^{Jt} P^{-1}. \]
L'exponentielle de chaque bloc de Jordan \( J_k(\lambda) \) est donnée par :
\[ e^{J_k(\lambda)t} = e^{\lambda t} \begin{pmatrix} 1 & t & \frac{t^2}{2!} & \cdots & \frac{t^{k-1}}{(k-1)!} \\ 0 & 1 & t & \cdots & \frac{t^{k-2}}{(k-2)!} \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & \frac{t^{k-3}}{(k-3)!} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}. \]
Exemple :
Résolvons le système suivant :
\[ \frac{d\mathbf{x}}{dt} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \mathbf{x}. \]
La forme de Jordan est déjà donnée. L'exponentielle matricielle est :
\[ e^{At} = \begin{pmatrix} e^{2t} & te^{2t} \\ 0 & e^{2t} \end{pmatrix}. \]
La solution générale est donc :
\[ \mathbf{x}(t) = \begin{pmatrix} e^{2t} & te^{2t} \\ 0 & e^{2t} \end{pmatrix} \mathbf{x}(0). \]
Étude des Suites Récurrentes
Une suite récurrente linéaire d'ordre \( n \) peut être représentée sous forme matricielle. Considérons une suite récurrente définie par :
\[ \mathbf{u}_{k+1} = A\mathbf{u}_k, \]
où \( \mathbf{u}_k \) est un vecteur colonne représentant les termes successifs de la suite, et \( A \) est une matrice carrée.
Expression de \( \mathbf{u}_k \)
Par récurrence, on obtient :
\[ \mathbf{u}_k = A^k \mathbf{u}_0, \]
où \( \mathbf{u}_0 \) est le vecteur initial.
Utilisation de la Réduction de Jordan
Si \( A = PJP^{-1} \), alors :
\[ A^k = P J^k P^{-1}. \]
Chaque bloc de Jordan \( J_k(\lambda) \) a sa puissance donnée par :
\[ J_k(\lambda)^n = \begin{pmatrix} \lambda^n & \binom{n}{1}\lambda^{n-1} & \binom{n}{2}\lambda^{n-2} & \cdots & \binom{n}{k-1}\lambda^{n-k+1} \\ 0 & \lambda^n & \binom{n}{1}\lambda^{n-1} & \cdots & \binom{n}{k-2}\lambda^{n-k+2} \\ 0 & 0 & \lambda^n & \cdots & \binom{n}{k-3}\lambda^{n-k+3} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \lambda^n \end{pmatrix}. \]
Exemple :
Considérons la suite récurrente suivante :
\[ u_{k+1} = 2u_k + 3v_k, \quad v_{k+1} = u_k + 4v_k. \]
Elle peut être représentée sous forme matricielle :
\[ \mathbf{u}_{k+1} = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{pmatrix} \mathbf{u}_k. \]
La solution générale est donnée par :
\[ \mathbf{u}_k = A^k \mathbf{u}_0, \]
où \( A \) est mise sous forme de Jordan pour simplifier le calcul de \( A^k \).
Applications
- Résolution des systèmes linéaires d'équations différentielles.
- Étude des suites récurrentes d'ordre supérieur.
- Analyse des comportements asymptotiques de suites et systèmes.
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