Suites et séries de fonctions : Cours complet
I. Introduction
Ce cours explore les concepts clés des suites et séries de fonctions, essentiels en analyse mathématique. Nous aborderons les types de convergences, les théorèmes d’interversion et leurs applications pratiques.
Objectifs du cours
- Maîtriser les convergences simple, uniforme et normale.
- Appliquer les théorèmes de continuité, dérivabilité et intégrabilité.
- Résoudre des problèmes concrets via des études de cas.
Contexte historique
Les travaux de Weierstrass (approximation polynomiale) et Cauchy (rigueur analytique) ont posé les bases de cette théorie au XIXe siècle.
II. Suites de fonctions
1. Convergences
Convergence simple
Une suite \( (f_n) \) converge simplement vers \( f \) sur \( D \) si :
\[ \forall x \in D,\ \lim_{n \to +\infty} f_n(x) = f(x) \]
Exemple : \( f_n(x) = x^n \) sur \( [0, 1] \) converge vers \( f(x) = \begin{cases} 0 & \text{si } x \in [0, 1) \\ 1 & \text{si } x = 1 \end{cases} \).
Convergence uniforme
La convergence est uniforme si :
\[ \lim_{n \to +\infty} \sup_{x \in D} |f_n(x) - f(x)| = 0 \]
Avantage : Préserve la continuité et permet d’intervertir limites et intégrales.
2. Théorèmes fondamentaux
Continuité
Si \( f_n \to f \) uniformément sur \( D \) et chaque \( f_n \) est continue, alors \( f \) est continue.
Dérivabilité
Si \( f_n \) sont \( \mathcal{C}^1 \), \( f_n \to f \) simplement, et \( f_n' \to g \) uniformément, alors \( f \) est dérivable et \( f' = g \).
III. Séries de fonctions
1. Types de convergence
| Type | Définition | Implications |
|---|---|---|
| Normale | \( \sum \|f_n\|_\infty \) converge | ⇒ Uniforme ⇒ Simple |
2. Critère de Weierstrass
Si \( |f_n(x)| \leq a_n \) pour tout \( x \in D \) et \( \sum a_n \) converge, alors \( \sum f_n \) converge normalement.
IV. Applications et exercices
Étude de cas : Série trigonométrique
Analyse de \( \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\sin(nx)}{n^2} \) :
- Convergence normale car \( \left|\frac{\sin(nx)}{n^2}\right| \leq \frac{1}{n^2} \).
- La somme est continue et dérivable terme à terme.
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