Bienvenue sur LexMath.com, votre plateforme dédiée aux ressources mathématiques pour tous les niveaux !
Dans cet article, nous vous proposons une série d'exercices corrigés sur le barycentre dans le plan pour les élèves de 1ère Bac. Ce fichier PDF est spécialement conçu pour vous permettre de comprendre en profondeur les méthodes de calcul et d'application du barycentre.
Exercice 1
- \( A(1, 2) \)
- \( B(4, -1) \)
- \( C(-2, 3) \)
Déterminez le barycentre \( G \) de ces trois points avec les coefficients suivants :
- \( \lambda_A = 2 \)
- \( \lambda_B = 3 \)
- \( \lambda_C = 1 \)
Ensuite, vérifiez si \( G \) est le barycentre des points \( A \) et \( B \) avec des coefficients \( \lambda_A = 3 \) et \( \lambda_B = 4 \).
Correction :
Pour le barycentre \( G \) des points \( A \), \( B \), et \( C \), on utilise :
\[ G \left( x_G, y_G \right) = \left( \frac{\lambda_A x_A + \lambda_B x_B + \lambda_C x_C}{\lambda_A + \lambda_B + \lambda_C}, \frac{\lambda_A y_A + \lambda_B y_B + \lambda_C y_C}{\lambda_A + \lambda_B + \lambda_C} \right). \]
Avec \( \lambda_A = 2 \), \( \lambda_B = 3 \), \( \lambda_C = 1 \), \( x_A = 1 \), \( y_A = 2 \), \( x_B = 4 \), \( y_B = -1 \), \( x_C = -2 \), et \( y_C = 3 \), on calcule :
\[ x_G = \frac{2 \cdot 1 + 3 \cdot 4 + 1 \cdot (-2)}{2 + 3 + 1} = \frac{2 + 12 - 2}{6} = \frac{12}{6} = 2. \]
\[ y_G = \frac{2 \cdot 2 + 3 \cdot (-1) + 1 \cdot 3}{2 + 3 + 1} = \frac{4 - 3 + 3}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}. \]
Donc, le barycentre \( G \) est \( \left( 2, \frac{2}{3} \right) \).
Pour vérifier si \( G \) est le barycentre des points \( A \) et \( B \) avec \( \lambda_A = 3 \) et \( \lambda_B = 4 \), on utilise :
\[ G' \left( x_{G'}, y_{G'} \right) = \left( \frac{3 \cdot 1 + 4 \cdot 4}{3 + 4}, \frac{3 \cdot 2 + 4 \cdot (-1)}{3 + 4} \right). \]
\[ x_{G'} = \frac{3 + 16}{7} = \frac{19}{7} \approx 2,71. \]
\[ y_{G'} = \frac{6 - 4}{7} = \frac{2}{7} \approx 0,29. \]
Donc, \( G' \) est \( \left( \frac{19}{7}, \frac{2}{7} \right) \), qui est différent de \( G \).
Exercice 2
- Le barycentre \( G \) de ces trois points avec des coefficients \( \lambda_A = 1 \), \( \lambda_B = 2 \), et \( \lambda_C = 1 \).
- Le barycentre \( H \) des points \( A \) et \( B \) avec des coefficients \( \lambda_A = 2 \) et \( \lambda_B = 1 \).
- Comparez \( G \) et \( H \) pour vérifier s'ils sont identiques.
Correction :
Pour le barycentre \( G \) des points \( A \), \( B \), et \( C \), on utilise :
\[ G \left( x_G, y_G \right) = \left( \frac{\lambda_A x_A + \lambda_B x_B + \lambda_C x_C}{\lambda_A + \lambda_B + \lambda_C}, \frac{\lambda_A y_A + \lambda_B y_B + \lambda_C y_C}{\lambda_A + \lambda_B + \lambda_C} \right). \]
Avec \( \lambda_A = 1 \), \( \lambda_B = 2 \), \( \lambda_C = 1 \), \( x_A = 0 \), \( y_A = 0 \), \( x_B = 4 \), \( y_B = 0 \), \( x_C = 2 \), et \( y_C = 3 \), on calcule :
\[ x_G = \frac{1 \cdot 0 + 2 \cdot 4 + 1 \cdot 2}{1 + 2 + 1} = \frac{0 + 8 + 2}{4} = \frac{10}{4} = 2,5. \]
\[ y_G = \frac{1 \cdot 0 + 2 \cdot 0 + 1 \cdot 3}{1 + 2 + 1} = \frac{0 + 0 + 3}{4} = \frac{3}{4} = 0,75. \]
Donc, le barycentre \( G \) est \( \left( 2,5, 0,75 \right) \).
Pour le barycentre \( H \) des points \( A \) et \( B \) avec \( \lambda_A = 2 \) et \( \lambda_B = 1 \), on utilise :
\[ H \left( x_H, y_H \right) = \left( \frac{2 \cdot 0 + 1 \cdot 4}{2 + 1}, \frac{2 \cdot 0 + 1 \cdot 0}{2 + 1} \right). \]
\[ x_H = \frac{0 + 4}{3} = \frac{4}{3} \approx 1,33. \]
\[ y_H = \frac{0 + 0}{3} = 0. \]
Donc, le barycentre \( H \) est \( \left( \frac{4}{3}, 0 \right) \), qui est différent de \( G \).
Exercice 3
- Calculez le barycentre \( G \) des points \( A \), \( B \), et \( C \) avec des coefficients \( \lambda_A = 3 \), \( \lambda_B = 2 \), et \( \lambda_C = 1 \).
- Si un point \( D \) a pour coordonnées \( (2, 0) \) et les coefficients \( \lambda_D = 4 \), quel est le barycentre \( E \) de \( A \), \( B \), et \( D \) avec des coefficients \( \lambda_A = 1 \), \( \lambda_B = 2 \), et \( \lambda_D = 4 \) ?
- Comparez les coordonnées de \( G \) et \( E \).
Correction :
Pour le barycentre \( G \) des points \( A \), \( B \), et \( C \), on utilise :
\[ G \left( x_G, y_G \right) = \left( \frac{\lambda_A x_A + \lambda_B x_B + \lambda_C x_C}{\lambda_A + \lambda_B + \lambda_C}, \frac{\lambda_A y_A + \lambda_B y_B + \lambda_C y_C}{\lambda_A + \lambda_B + \lambda_C} \right). \]
Avec \( \lambda_A = 3 \), \( \lambda_B = 2 \), \( \lambda_C = 1 \), \( x_A = -1 \), \( y_A = 2 \), \( x_B = 3 \), \( y_B = 1 \), \( x_C = 0 \), et \( y_C = -4 \), on calcule :
\[ x_G = \frac{3 \cdot (-1) + 2 \cdot 3 + 1 \cdot 0}{3 + 2 + 1} = \frac{-3 + 6 + 0}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}. \]
\[ y_G = \frac{3 \cdot 2 + 2 \cdot 1 + 1 \cdot (-4)}{3 + 2 + 1} = \frac{6 + 2 - 4}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}. \]
Donc, le barycentre \( G \) est \( \left( \frac{1}{2}, \frac{2}{3} \right) \).
Pour le barycentre \( E \) des points \( A \), \( B \), et \( D \), on utilise :
\[ E \left( x_E, y_E \right) = \left( \frac{\lambda_A x_A + \lambda_B x_B + \lambda_D x_D}{\lambda_A + \lambda_B + \lambda_D}, \frac{\lambda_A y_A + \lambda_B y_B + \lambda_D y_D}{\lambda_A + \lambda_B + \lambda_D} \right). \]
Avec \( \lambda_A = 1 \), \( \lambda_B = 2 \), \( \lambda_D = 4 \), \( x_A = -1 \), \( y_A = 2 \), \( x_B = 3 \), \( y_B = 1 \), \( x_D = 2 \), et \( y_D = 0 \), on calcule :
\[ x_E = \frac{1 \cdot (-1) + 2 \cdot 3 + 4 \cdot 2}{1 + 2 + 4} = \frac{-1 + 6 + 8}{7} = \frac{13}{7} \approx 1,86. \]
\[ y_E = \frac{1 \cdot 2 + 2 \cdot 1 + 4 \cdot 0}{1 + 2 + 4} = \frac{2 + 2 + 0}{7} = \frac{4}{7} \approx 0,57. \]
Donc, le barycentre \( E \) est \( \left( \frac{13}{7}, \frac{4}{7} \right) \), qui est différent de \( G \).
Exercice 4
- Calculez le barycentre \( F \) des points \( A \), \( B \), et \( C \) avec des coefficients \( \lambda_A = 2 \), \( \lambda_B = 3 \), et \( \lambda_C = 4 \).
- Calculez le barycentre \( G \) des points \( A \), \( B \), \( C \), et \( D \) avec des coefficients \( \lambda_A = 1 \), \( \lambda_B = 1 \), \( \lambda_C = 1 \), et \( \lambda_D = 1 \).
- Comparez les coordonnées de \( F \) et \( G \) pour vérifier s'ils sont identiques.
Correction :
Pour le barycentre \( F \) des points \( A \), \( B \), et \( C \), on utilise :
\[ F \left( x_F, y_F \right) = \left( \frac{\lambda_A x_A + \lambda_B x_B + \lambda_C x_C}{\lambda_A + \lambda_B + \lambda_C}, \frac{\lambda_A y_A + \lambda_B y_B + \lambda_C y_C}{\lambda_A + \lambda_B + \lambda_C} \right). \]
Avec \( \lambda_A = 2 \), \( \lambda_B = 3 \), \( \lambda_C = 4 \), \( x_A = 1 \), \( y_A = 3 \), \( x_B = -2 \), \( y_B = -1 \), \( x_C = 4 \), et \( y_C = 2 \), on calcule :
\[ x_F = \frac{2 \cdot 1 + 3 \cdot (-2) + 4 \cdot 4}{2 + 3 + 4} = \frac{2 - 6 + 16}{9} = \frac{12}{9} = \frac{4}{3}. \]
\[ y_F = \frac{2 \cdot 3 + 3 \cdot (-1) + 4 \cdot 2}{2 + 3 + 4} = \frac{6 - 3 + 8}{9} = \frac{11}{9} \approx 1,22. \]
Donc, le barycentre \( F \) est \( \left( \frac{4}{3}, \frac{11}{9} \right) \).
Pour le barycentre \( G \) des points \( A \), \( B \), \( C \), et \( D \), on utilise :
\[ G \left( x_G, y_G \right) = \left( \frac{\lambda_A x_A + \lambda_B x_B + \lambda_C x_C + \lambda_D x_D}{\lambda_A + \lambda_B + \lambda_C + \lambda_D}, \frac{\lambda_A y_A + \lambda_B y_B + \lambda_C y_C + \lambda_D y_D}{\lambda_A + \lambda_B + \lambda_C + \lambda_D} \right). \]
Avec \( \lambda_A = 1 \), \( \lambda_B = 1 \), \( \lambda_C = 1 \), \( \lambda_D = 1 \), \( x_A = 1 \), \( y_A = 3 \), \( x_B = -2 \), \( y_B = -1 \), \( x_C = 4 \), \( y_C = 2 \), et \( x_D = 0 \), \( y_D = 0 \), on calcule :
\[ x_G = \frac{1 \cdot 1 + 1 \cdot (-2) + 1 \cdot 4 + 1 \cdot 0}{1 + 1 + 1 + 1} = \frac{1 - 2 + 4 + 0}{4} = \frac{3}{4} = 0,75. \]
\[ y_G = \frac{1 \cdot 3 + 1 \cdot (-1) + 1 \cdot 2 + 1 \cdot 0}{1 + 1 + 1 + 1} = \frac{3 - 1 + 2 + 0}{4} = \frac{4}{4} = 1. \]
Donc, le barycentre \( G \) est \( \left( 0,75, 1 \right) \), qui est différent de \( F \).
Exercice 5
On a les points \( A(3, -2) \), \( B(-1, 4) \), et \( C(2, 1) \). Répondez aux questions suivantes :
- Calculez le barycentre \( H \) des points \( A \), \( B \), et \( C \) avec des coefficients \( \lambda_A = 4 \), \( \lambda_B = 3 \), et \( \lambda_C = 2 \).
- Si un point \( D \) a pour coordonnées \( (0, -1) \) et les coefficients \( \lambda_D = 5 \), quel est le barycentre \( I \) de \( A \), \( B \), et \( D \) avec des coefficients \( \lambda_A = 2 \), \( \lambda_B = 1 \), et \( \lambda_D = 5 \) ?
- Comparez les coordonnées de \( H \) et \( I \).
Correction :
Pour le barycentre \( H \) des points \( A \), \( B \), et \( C \), on utilise :
\[ H \left( x_H, y_H \right) = \left( \frac{\lambda_A x_A + \lambda_B x_B + \lambda_C x_C}{\lambda_A + \lambda_B + \lambda_C}, \frac{\lambda_A y_A + \lambda_B y_B + \lambda_C y_C}{\lambda_A + \lambda_B + \lambda_C} \right). \]
Avec \( \lambda_A = 4 \), \( \lambda_B = 3 \), \( \lambda_C = 2 \), \( x_A = 3 \), \( y_A = -2 \), \( x_B = -1 \), \( y_B = 4 \), \( x_C = 2 \), et \( y_C = 1 \), on calcule :
\[ x_H = \frac{4 \cdot 3 + 3 \cdot (-1) + 2 \cdot 2}{4 + 3 + 2} = \frac{12 - 3 + 4}{9} = \frac{13}{9} \approx 1,44. \]
\[ y_H = \frac{4 \cdot (-2) + 3 \cdot 4 + 2 \cdot 1}{4 + 3 + 2} = \frac{-8 + 12 + 2}{9} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}. \]
Donc, le barycentre \( H \) est \( \left( \frac{13}{9}, \frac{2}{3} \right) \).
Pour le barycentre \( I \) des points \( A \), \( B \), et \( D \), on utilise :
\[ I \left( x_I, y_I \right) = \left( \frac{\lambda_A x_A + \lambda_B x_B + \lambda_D x_D}{\lambda_A + \lambda_B + \lambda_D}, \frac{\lambda_A y_A + \lambda_B y_B + \lambda_D y_D}{\lambda_A + \lambda_B + \lambda_D} \right). \]
Avec \( \lambda_A = 2 \), \( \lambda_B = 1 \), \( \lambda_D = 5 \), \( x_A = 3 \), \( y_A = -2 \), \( x_B = -1 \), \( y_B = 4 \), \( x_D = 0 \), et \( y_D = -1 \), on calcule :
\[ x_I = \frac{2 \cdot 3 + 1 \cdot (-1) + 5 \cdot 0}{2 + 1 + 5} = \frac{6 - 1 + 0}{8} = \frac{5}{8} = 0,625. \]
\[ y_I = \frac{2 \cdot (-2) + 1 \cdot 4 + 5 \cdot (-1)}{2 + 1 + 5} = \frac{-4 + 4 - 5}{8} = \frac{-5}{8} = -0,625. \]
Donc, le barycentre \( I \) est \( \left( \frac{5}{8}, -\frac{5}{8} \right) \), qui est différent de \( H \).
Exercice 6
On a les points \( A(-3, 5) \), \( B(1, -2) \), \( C(2, 0) \), et \( D(4, 3) \). Répondez aux questions suivantes :
- Calculez le barycentre \( J \) des points \( A \), \( B \), et \( C \) avec des coefficients \( \lambda_A = 1 \), \( \lambda_B = 2 \), et \( \lambda_C = 3 \).
- Calculez le barycentre \( K \) des points \( A \), \( B \), \( C \), et \( D \) avec des coefficients \( \lambda_A = 2 \), \( \lambda_B = 2 \), \( \lambda_C = 2 \), et \( \lambda_D = 4 \).
- Comparez les coordonnées de \( J \) et \( K \) pour vérifier s'ils sont identiques.
Correction :
Pour le barycentre \( J \) des points \( A \), \( B \), et \( C \), on utilise :
\[ J \left( x_J, y_J \right) = \left( \frac{\lambda_A x_A + \lambda_B x_B + \lambda_C x_C}{\lambda_A + \lambda_B + \lambda_C}, \frac{\lambda_A y_A + \lambda_B y_B + \lambda_C y_C}{\lambda_A + \lambda_B + \lambda_C} \right). \]
Avec \( \lambda_A = 1 \), \( \lambda_B = 2 \), \( \lambda_C = 3 \), \( x_A = -3 \), \( y_A = 5 \), \( x_B = 1 \), \( y_B = -2 \), \( x_C = 2 \), et \( y_C = 0 \), on calcule :
\[ x_J = \frac{1 \cdot (-3) + 2 \cdot 1 + 3 \cdot 2}{1 + 2 + 3} = \frac{-3 + 2 + 6}{6} = \frac{5}{6} \approx 0,83. \]
\[ y_J = \frac{1 \cdot 5 + 2 \cdot (-2) + 3 \cdot 0}{1 + 2 + 3} = \frac{5 - 4 + 0}{6} = \frac{1}{6} \approx 0,17. \]
Donc, le barycentre \( J \) est \( \left( \frac{5}{6}, \frac{1}{6} \right) \).
Pour le barycentre \( K \) des points \( A \), \( B \), \( C \), et \( D \), on utilise :
\[ K \left( x_K, y_K \right) = \left( \frac{\lambda_A x_A + \lambda_B x_B + \lambda_C x_C + \lambda_D x_D}{\lambda_A + \lambda_B + \lambda_C + \lambda_D}, \frac{\lambda_A y_A + \lambda_B y_B + \lambda_C y_C + \lambda_D y_D}{\lambda_A + \lambda_B + \lambda_C + \lambda_D} \right). \]
Avec \( \lambda_A = 2 \), \( \lambda_B = 2 \), \( \lambda_C = 2 \), \( \lambda_D = 4 \), \( x_A = -3 \), \( y_A = 5 \), \( x_B = 1 \), \( y_B = -2 \), \( x_C = 2 \), \( y_C = 0 \), \( x_D = 4 \), et \( y_D = 3 \), on calcule :
\[ x_K = \frac{2 \cdot (-3) + 2 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 4 \cdot 4}{2 + 2 + 2 + 4} = \frac{-6 + 2 + 4 + 16}{10} = \frac{16}{10} = 1,6. \]
\[ y_K = \frac{2 \cdot 5 + 2 \cdot (-2) + 2 \cdot 0 + 4 \cdot 3}{2 + 2 + 2 + 4} = \frac{10 - 4 + 0 + 12}{10} = \frac{18}{10} = 1,8. \]
Donc, le barycentre \( K \) est \( \left( 1,6, 1,8 \right) \), qui est différent de \( J \).
Téléchargez le fichier PDF et maîtrisez le barycentre
Prêt à comprendre le barycentre dans le plan ? Téléchargez notre fichier PDF contenant des exercices corrigés sur le barycentre pour 1ère Bac et renforcez vos connaissances avec des exercices adaptés et des solutions détaillées.
Télécharger Cours PDF sur le barycentre dans le plan 1 bac Voir plus de ressources pour 1ère BacContinuez à explorer LexMath.com pour découvrir plus de ressources en mathématiques et améliorer vos compétences jour après jour.
.webp)
Enregistrer un commentaire
regle de system commentaires:
Chacun doit respecter les commentaires et les opinions des autres.
Évitez d'utiliser des mots offensants ou de diffamer les autres.